Kezdőlap


Feladat:	814. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berecz Ágota , Berkes István , Csirik János , Czina Ferenc , Dévaj Ágnes , Domokos Zsuzsanna , Fiantók T.. , Földes Antónia , Hegedűs Aletta , Herényi I. , Herényi István , Hoffer Anna , Huhn András , Jahn J. , Kiss Árpád , Kiss Katalin , Kummer J. , Körner János , Lehel Csaba , Lovász László , Major P. , Malatinszky Géza , Marosi Judit , Mátrai Miklós , Nagy István (Győr) , Nagy Klára , Pelikán József , Raisz Péter , Rapcsák T. , Rejtő Lídia , Siket Aranka , Szabó M. , Szabó Zoltán , Szani E. , Szentai Judit , Tamás Endre , Tamás G. , Veres Ferenc , Vesztergombi Katalin
Füzet:	1963/december, 208 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Szorzat, hatványozás azonosságai, Irracionális egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/január: 814. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Olyan $x$ , $y$ , $z$ , $u$ pozitív egész számot keresünk, amelyekre

\begin{matrix} K = \sqrt[]{36 + 14 \sqrt[]{6} + 14 \sqrt[]{5} + 6 \sqrt[]{30}} = \sqrt[]{x} + \sqrt[]{y} + \sqrt[]{z} + \sqrt[]{u} : \end{matrix}

(1)

Négyzetre emeléssel

\begin{matrix} 36 + 14 \sqrt[]{6} + 14 \sqrt[]{5} + 6 \sqrt[]{30} = (x + y + z + u) + \\ + 2 (\sqrt[]{x y} + \sqrt[]{x z} + \sqrt[]{x u} + \sqrt[]{y z} + \sqrt[]{y u} + \sqrt[]{x u}) . \end{matrix}

A jobb oldal első négytagúja egész, ezért vagy egyenlő 36-tal, vagy kisebb annál, ti. akkor, ha a második zárójel tagjai között is van egész:

\begin{matrix} x + y + z + u ≦ 36. \end{matrix}

Eszerint

x

y

z

u

egyike sem lehet több 33-nál, és bármelyik kettőjük összege nem lehet több 34-nél. Ezért a második zárójel egyik tagja sem lehet egyenlő a

\begin{matrix} 14 \sqrt[]{6} = 2 \sqrt[]{294}, 14 \sqrt[]{5} = 2 \sqrt[]{245}, 6 \sqrt[]{30} = 2 \sqrt[]{270} \end{matrix}

tagok egyikével sem, más szóval az

x y

x z

...

z u

szorzatok egyíke sem egyenlő a 294, 245, 270 számok valamelyikével. Ugyanis a

294 = 2 \cdot 3 \cdot 7^{2}

245 = 5 \cdot 7^{2}

270 = 2 \cdot 3^{3} \cdot 5

számok lehetséges kéttényezős szorzat‐előállításai:

294 = 1 \cdot 294 = 2 \cdot 147 = 3 \cdot 98 = 6 \cdot 49 = 7 \cdot 42 = 14 \cdot 21

245 = 1 \cdot 245 = 5 \cdot 49 = 7 \cdot 35

270 = 1 \cdot 270 = 2 \cdot 135 = 3 \cdot 90 = 5 \cdot 54 = 6 \cdot 45 = 9 \cdot 30 = 10 \cdot 27 = 15 \cdot 18

Ezek közül csak

15 \cdot 18

-ban kisebb a tényezők összege 34-nél. Mármost az

x = 18

y = 15

feltevésből

z + u ≦ 3

következik, ebből pedig

\begin{matrix} vagy z = u = 1, vagy z = 2, u = 1. \end{matrix}

Ámde mindkét további feltevés ellentmondásra vezet; ugyanis az első alesetben

2 \sqrt[]{z u} = 2

, és így a racionális rész legalább 37, ‐ a másodikban pedig

2 \sqrt[]{z u} = 2 \sqrt[]{2}

, márpedig a bal oldalon nincs

\sqrt[]{2}

-nek egész számú többszöröse, a jobb oldalon viszont minden tag pozitív, a

2 \sqrt[]{2}

tag nem eshet ki. Ezek szerint a bal oldal mindegyik gyökös tagja a jobb oldal két gyökös tagjának összegével egyenlő. Ebből az is adódik, hogy

x + y + z + u = 36

.
Ha pl.

\sqrt[]{x y}

és

\sqrt[]{x z}

összevonható volna, akkor ez állna

\sqrt[]{y}

és

\sqrt[]{z}

-re is, így (1) jobb oldala 4-nél kevesebb tagból állna. Ezt a lehetőséget egyelőre figyelmen kívül hagyjuk, feltesszük, hogy az összevonható tagpárokban a gyökjelek alatt nincs azonos betű, tehát pl.

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{x y} + 2 \sqrt[]{z u} = 14 \sqrt[]{6}, & (2) \\ 2 \sqrt[]{x z} + 2 \sqrt[]{y u} = 14 \sqrt[]{5}, & (3) \\ 2 \sqrt[]{x u} + 2 \sqrt[]{y z} = 6 \sqrt[]{30} . & (4) \end{matrix}

(2) és (3), majd (4) és (3) négyzeteinek különbségéből a gyökös tag kiesik. Egyszerűsítéssel, majd szorzattá alakítással

\begin{matrix} x y + z u - x z - y u = 49, \\ (x - u) (y - z) = 49; & (5) \\ x u + y z - x z - y u = 25, \\ (x - y) (u - z) = 25. & (6) \end{matrix}

Feltehetjük, hogy

x > u

, ekkor (5)-ből

y > z

, és mivel

x - u

nem lehet 49, azért

x - u = y - z = 7

. Innen

x - y = u - z

, tehát (6) szerint közös értékük

+ 5

, vagy

- 5

. Feltehetjük, hogy

x > y

, így

x - y = 5

. E három független egyenlethez hozzávéve

x + y + z + u = 36

-ot, adódik:

x = 15

y = 10

u = 8

z = 3

.
Ezek pozitív egész számok, megfelelnek a követelményeknek és valóban fennáll

\begin{matrix} \sqrt[]{36 + 14 \sqrt[]{6} + 14 \sqrt[]{5} + 6 \sqrt[]{30}} = \sqrt[]{15} + \sqrt[]{10} + \sqrt[]{8} + \sqrt[]{3} \end{matrix}

(a két oldal közelítő értéke

11, 5957

Szentai Judit (Budapest, Kanizsay D. lg. II. o. t.)

II. megoldás. Vegyük észre, hogy a gyök alatti

K

kifejezés szorzattá alakítható:

\begin{matrix} K = 6 (6 + \sqrt[]{30}) + 14 (\sqrt[]{6} + \sqrt[]{5}) = 6 \sqrt[]{6} (\sqrt[]{6} + \sqrt[]{5}) + 14 (\sqrt[]{6} + \sqrt[]{5}) = \\ = (6 \sqrt[]{6} + 14) (\sqrt[]{6} + \sqrt[]{5}), \end{matrix}

így a keresett négyzetgyök egyenlő e két kéttagú számkifejezés négyzetgyökének szorzatával. Alkalmazzuk az elsőre az ismert¹ (és könnyen igazolható)

\begin{matrix} \sqrt[]{\sqrt[]{A} + \sqrt[]{B}} = \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{A} + \sqrt[]{A - B}}{2}} + \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{A} - \sqrt[]{A - B}}{2}} \end{matrix}

azonosságot:

A = 216

B = 196

A - B = 2^{2} \cdot 5

, és így

\begin{matrix} \sqrt[]{6 \sqrt[]{6} + 14} = \sqrt[]{3 \sqrt[]{6} + \sqrt[]{5}} + \sqrt[]{3 \sqrt[]{6} - \sqrt[]{5}}, \end{matrix}

ezért, majd az azonosságot újból alkalmazva

\begin{matrix} K = (\sqrt[]{3 + \sqrt[]{6} + \sqrt[]{5}} + \sqrt[]{3 \sqrt[]{6} - \sqrt[]{5}}) \cdot \sqrt[]{\sqrt[]{6} + \sqrt[]{5}} = \\ = \sqrt[]{23 + 4 \sqrt[]{30}} + \sqrt[]{13 + 2 \sqrt[]{30}} = \sqrt[]{\frac{23 + \sqrt[]{529 - 480}}{2}} + \sqrt[]{\frac{23 - \sqrt[]{49}}{2}} + \\ + \sqrt[]{\frac{13 + \sqrt[]{169 - 120}}{2}} + \sqrt[]{\frac{13 - \sqrt[]{49}}{2}} = \sqrt[]{15} + \sqrt[]{8} + \sqrt[]{10} + \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Lehel Csaba (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)

III. megoldás. Vegyük segítségül az

\begin{matrix} L = \sqrt[]{36 + 14 \sqrt[]{6} - 14 \sqrt[]{5} - 6 \sqrt[]{30}} \end{matrix}

számkifejezést. Ezzel

\begin{matrix} {(K + L)}^{2} = K^{2} + L^{2} + 2 K L = 72 + 28 \sqrt[]{6} + \\ + 2 \sqrt[]{{(36 + 14 \sqrt[]{6})}^{2} - {(14 \sqrt[]{5} + 6 \sqrt[]{30})}^{2}} = 72 + 28 \sqrt[]{6} + 4 \sqrt[]{103 + 42 \sqrt[]{6}} . \end{matrix}

Próbáljuk meg az utolsó tagbeli gyököt egész

C

D

-vel

C + D \sqrt[]{6}

alakban előállítani:

\begin{matrix} \sqrt[]{103 + 42 \sqrt[]{6}} = C + D \sqrt[]{6}, C^{2} + 6 D^{2} = 103, C D = 21, \end{matrix}

(7)

és látjuk, hogy

C = 7

D = 3

, megfelel, így ‐ csak a pozitív gyököt véve, úgyszintén a továbbiakban is ‐

\begin{matrix} {(K + L)}^{2} = 72 + 28 \sqrt[]{6} + 28 + 12 \sqrt[]{6} = 100 + 40 \sqrt[]{6} = 20 (5 + 2 \sqrt[]{6}) . \end{matrix}

Észrevéve, hogy a zárójelben

5 = 2 + 3

és

6 = 2 \cdot 3

\begin{matrix} {(K + L)}^{2} = 20 {(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{2}, K + L = 2 \sqrt[]{5} (\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}) = 2 \sqrt[]{10} + 2 \sqrt[]{15} . \end{matrix}

Hasonló átalakítás sikerül

K - L

-re. Az előzők felhasználásával

\begin{matrix} {(K - L)}^{2} = K^{2} + L^{2} - 2 K L = 72 + 28 \sqrt[]{6} - 28 - 12 \sqrt[]{6} = 44 + 16 \sqrt[]{6} = \\ = 4 (11 + 2 \sqrt[]{24}) = 4 {(\sqrt[]{3} + \sqrt[]{8})}^{2}, K - L = 2 \sqrt[]{3} + 2 \sqrt[]{8} . \end{matrix}

Ezzel egyenletrendszert kaptunk

K

-ra és

L

-re, abból

\begin{matrix} K = \frac{1}{2} [(K + L) + (K - L)] = \sqrt[]{10} + \sqrt[]{15} + \sqrt[]{3} + \sqrt[]{8} . \end{matrix}

Azt is kapjuk, hogy az

L

kifejezés is előállítható összeadással és kivonással négy pozitív egész szám négyzetgyökéből:

\begin{matrix} \sqrt[]{36 + 14 \sqrt[]{6} - 14 \sqrt[]{5} - 6 \sqrt[]{30}} = \frac{1}{2} [(K + L) - (K - L)] = \\ = \sqrt[]{10} + \sqrt[]{15} - \sqrt[]{3} - \sqrt[]{8} . \end{matrix}

Hasonlóan segítségül vehettük volna a következő kifejezéseket

\begin{matrix} \sqrt[]{36 + 6 \sqrt[]{30} - 14 \sqrt[]{6} - 14 \sqrt[]{5}} & = \sqrt[]{15} + \sqrt[]{8} - \sqrt[]{10} - \sqrt[]{3} és \\ \sqrt[]{36 + 14 \sqrt[]{5} - 14 \sqrt[]{6} - 6 \sqrt[]{30}} & = \sqrt[]{10} + \sqrt[]{8} - \sqrt[]{15} - \sqrt[]{3}; \end{matrix}

a legutóbbi eredmény számítása a bemutatottnál egyszerűbb.

¹Lásd pl. Faragó L.: Matematikai szakköri feladatgyűjtemény (2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest 1955) 60 fd. 13. o. Laricsev‐Varga: Algebrai feladatok gyűjteménye: II. (10. kiadás, Tankönyvkiadó, Bp. 1961.) 37. o.