Feladat: 804. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bajna Zs. ,  Berkes I. ,  Bódi Zoltán ,  Bóta K. ,  Chiovini Gy. ,  Domokos Zsuzsa ,  Endrődy Gabriella ,  Freud Róbert ,  Herényi István ,  Horányi J. ,  Huhn A. ,  Kiss A. ,  Kláris L. ,  Kocsis Ilona ,  Langer László ,  Lehel Cs. ,  Lovász László ,  Makk Zsuzsa ,  Márki László ,  Máté Mária ,  Mátrai M. ,  Mezei I. ,  Molnár Ágnes ,  Pelikán József ,  Pete L. ,  Siket Aranka ,  Sükösd Csaba ,  Szabó M. ,  Szabó Z. ,  Székely Gábor ,  Szidarovszky Klára ,  Tényi Cs. ,  Vesztergombi Katalin 
Füzet: 1963/szeptember, 23 - 24. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1962/december: 804. matematika gyakorlat

Mely feltétel mellett áll fenn a következő egyenlőségsorozat:
a+abca-bc+bb+abca-ac+b=a-aba+2bb-ab2a+b=2aba-b+a2aba-b-b=ab.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hozzuk egyszerűbb alakra az egyenlőségi jelekkel elválasztott kifejezéseket.

az  első:(a2+ab)(a-ac+b)(ab+b2)(a-bc+b)=a(a+b)(a-ac+b)b(a+b)(a-bc+b)=a(a-ac+b)b(a-bc+b),

a  második:(a2+ab)(2a+b)(ab+b2)(a+2b)=a(2a+b)b(a+2b),

a harmadik:(ab+a2)(ab+b2)=ab.


Ennek során a következő kifejezésekkel bővítettünk, ill. egyszerűsítettünk:
a-bc+b,a-ac+b,a+b,a+2b,2a+b,a-b.(1)

A keresett feltételek első csoportja az, hogy ezek egyike sem lehet 0. Ezek teljesülése esetén az utolsó két kifejezés azonos, egyenlők, ha b0.
A továbbiakban elég megkeresnünk annak feltételét, hogy az első két kifejezés külön-külön egyenlő legyen az utolsóval. Ekkor ugyanis amazok egymással is egyenlők. Az első és az utolsó különbsége
ab(a-ac+ba-bc+b-1)=ab(b-a)ca-bc+b.
Ez akkor és csak akkor 0, és vele a két kifejezés akkor és csak akkor egyenlő, ha az a, c és b-a számok közül legalább az egyik 0. Ennek lehetőségét b-a-ra (1)-ben kizártuk, marad tehát az, hogy a és c közül legalább az egyik 0. Hasonlóan a második és negyedik kifejezésre
ab(2a+ba+2b-1)=aba-ba+2b=0
-ból is csak az a=0 feltételt tarthatjuk meg. E két eredményt egybevetve látjuk, hogy a c=0 feltétel a=0 nélkül nem elegendő az egyenlőségsorozat teljesüléséhez, a=0 mellett viszont nem szükséges hozzá, tehát a fenti feltételekhez csupán a=0-t kell hozzácsatolni.
a=0-val az (1) kifejezésekre kimondott követelmények így egyszerűsödnek:
b(1-c)0,b0(5kifejezésből, majd önállóan is),
ennélfogva az egyenlőségsorozat fennállásának feltételei
a=0,b0,c1.
 Langer László (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)