Kezdőlap


Feladat:	804. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajna Zs. , Berkes I. , Bódi Zoltán , Bóta K. , Chiovini Gy. , Domokos Zsuzsa , Endrődy Gabriella , Freud Róbert , Herényi István , Horányi J. , Huhn A. , Kiss A. , Kláris L. , Kocsis Ilona , Langer László , Lehel Cs. , Lovász László , Makk Zsuzsa , Márki László , Máté Mária , Mátrai M. , Mezei I. , Molnár Ágnes , Pelikán József , Pete L. , Siket Aranka , Sükösd Csaba , Szabó M. , Szabó Z. , Székely Gábor , Szidarovszky Klára , Tényi Cs. , Vesztergombi Katalin
Füzet:	1963/szeptember, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/december: 804. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hozzuk egyszerűbb alakra az egyenlőségi jelekkel elválasztott kifejezéseket.

\begin{matrix} az  első: \frac{(a^{2} + a b) (a - a c + b)}{(a b + b^{2}) (a - b c + b)} = \frac{a (a + b) (a - a c + b)}{b (a + b) (a - b c + b)} = \frac{a (a - a c + b)}{b (a - b c + b)}, \end{matrix}

\begin{matrix} a  második: \frac{(a^{2} + a b) (2 a + b)}{(a b + b^{2}) (a + 2 b)} = \frac{a (2 a + b)}{b (a + 2 b)}, \end{matrix}

\begin{matrix} a harmadik: \frac{(a b + a^{2})}{(a b + b^{2})} = \frac{a}{b} . \end{matrix}

Ennek során a következő kifejezésekkel bővítettünk, ill. egyszerűsítettünk:

\begin{matrix} a - b c + b, a - a c + b, a + b, a + 2 b, 2 a + b, a - b . \end{matrix}

(1)

A keresett feltételek első csoportja az, hogy ezek egyike sem lehet

0

. Ezek teljesülése esetén az utolsó két kifejezés azonos, egyenlők, ha

b \neq 0

.
A továbbiakban elég megkeresnünk annak feltételét, hogy az első két kifejezés külön-külön egyenlő legyen az utolsóval. Ekkor ugyanis amazok egymással is egyenlők. Az első és az utolsó különbsége

\begin{matrix} \frac{a}{b} (\frac{a - a c + b}{a - b c + b} - 1) = \frac{a}{b} \cdot \frac{(b - a) c}{a - b c + b} . \end{matrix}

Ez akkor és csak akkor

0

, és vele a két kifejezés akkor és csak akkor egyenlő, ha az

a

c

és

b - a

számok közül legalább az egyik

0

. Ennek lehetőségét

b - a

-ra (1)-ben kizártuk, marad tehát az, hogy

a

és

c

közül legalább az egyik

0

. Hasonlóan a második és negyedik kifejezésre

\begin{matrix} \frac{a}{b} (\frac{2 a + b}{a + 2 b} - 1) = \frac{a}{b} \cdot \frac{a - b}{a + 2 b} = 0 \end{matrix}

-ból is csak az

a = 0

feltételt tarthatjuk meg. E két eredményt egybevetve látjuk, hogy a

c = 0

feltétel

a = 0

nélkül nem elegendő az egyenlőségsorozat teljesüléséhez,

a = 0

mellett viszont nem szükséges hozzá, tehát a fenti feltételekhez csupán

a = 0

-t kell hozzácsatolni.

a = 0

-val az (1) kifejezésekre kimondott követelmények így egyszerűsödnek:

\begin{matrix} b (1 - c) \neq 0, b \neq 0 (5 kifejezésből, majd önállóan is), \end{matrix}

ennélfogva az egyenlőségsorozat fennállásának feltételei

\begin{matrix} a = 0, b \neq 0, c \neq 1. \end{matrix}

Langer László (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)