Feladat: 609. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Benczúr A. ,  Csákó Gy. ,  Dobó F. ,  Fajszi Cs. ,  Farkas Z. ,  Felszeghy T. ,  Gálfi l. ,  Görbe T. ,  Katona Éva ,  Katona Mária ,  Kerényi Ilona ,  Kiss G. ,  Kóta J. ,  Kunszt Z. ,  Markó J. ,  Minkó B. ,  Nádasdy G. ,  Nagy Dénes L. ,  Nováky B. ,  Sebestyén Z. ,  Simonovits M. ,  Sonnevend Gy. ,  Szidarovszky F. ,  Tasnády Mária ,  Vesztergombi Gy. ,  Zalán P. 
Füzet: 1960/november, 145 - 147. oldal  PDF file
Témakör(ök): Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/január: 609. matematika gyakorlat

Az αx4+bx3+cx2+dx+eα(x4-1)+b(x3+1)+c(x2-1)+d(x+1)+(a-b+c-d+e) azonosság alapján adjunk rövidített vizsgálati eljárást a legfeljebb 5-jegyű (egész) számok 11-gyel való osztásánál fellépő maradék megállapítására. Lehet-e adni rövidített eljárást akárhány jegyű számra is ? Adjunk ezek alapján (az ún. 9-es próba mintájára) szükséges feltételt arra, hogy két egész számon a négy alapművelet bármelyikét végrehajtva az, eredmény helyes legyen. (Arra is gondoljunk, ha a hányados néhány tizedes jegyét is kiszámítottuk.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha x helyére 10-et, a, b, c, d, e helyére pedig számjegyeket írunk (vagyis a 0,1,2,...,8,9 számokat), akkor az azonosság bal oldalán a tízes számrendszer legfeljebb 5 jeggyel írható a104+b103+c102+d10+e=abcde¯ számát kapjuk. Másrészt így 11=x+1, és ez a jobb oldal első négy tagjának osztója, mert

x4-1=(x2+1)(x2-1)=[(x2+1)(x-1)](x+1),x3+1=(x2-x+1)(x+1),x2-1=(x-1)(x+1).
Ezért az A, B, C,... betűkkel alkalmas egész számokat jelölve
104=11A+1,103=11B-1,102=11C+1,
továbbá
10=11D-1és1=11E+1,
tehát
abcde¯=11(Aa+Bb+Cc+Dd)+(a-b+c-d+e)=11F+[(e+c+a)-(d+b)]=11F+r.
Ez azt jelenti, hogy az abcde¯ és r számok 11-gyel való osztásánál ugyanaz a maradék lép fel, hacsak r nem negatív; más szóval: abcde¯-r osztható 11-gyel. Pl. 62 738 és r=(8+7+6)-(3+2)=16 osztásánál a maradék egyformán 5, mert 62738=570311+5 és 16=111+5. Ha az osztásból csak a maradékra van szükségünk, azt így jóval egyszerűbben megállapíthatjuk.
Ha r negatív, akkor helyette
abcde¯=11(F-2)+(r+22)
alapján a fenti állítást a r+22 számról mondhatjuk ki, ez pedig pozitív. (Esetleg már r+11 sem negatív.) Pl. 29 180-nak ,,11-es maradéka'' 8, mert 29180= =265211+8 és az r=(0+1+2)-(8+9)=-14 helyett vett szám ugyancsak: r+22=8.
Az eljárás 5-nél kevesebb jegyű számokra is alkalmazható, pl. az első példában kapott ,,16'' számra a=b=c=0 és r=6-1=5.
Az eljárást ki lehet terjeszteni akárhány jegyű számokra. Mert a két egyenlő páratlan kitevős hatvány összegének, valamint a két egyenlő kitevős hatvány különbségének szorzattá alakításáról ismert azonosságok szerint
x2k+1+1=(x2k-x2k-1+x2k-2-...-x+1)(x+1)
és
x2k-1=(x2)k-1=[(x2)k-1+(x2)k-2+...+x2+1](x2-1)==[(x2k-2+x2k-4+...+x2+1)(x-1)](x+1).
Itt x=10-et írva látjuk, hogy
102k+1=11G-1,(1)
és
102k=11H+1,(2)
vagyis 10-nek minden (pozitív) páratlan kitevős hatványa 1-gyel kisebb, és minden (pozitív) páros kitevős hatványa 1-gyel nagyobb egy 11-gyel osztható számnál. Ebből az adott azonosság mintájára könnyű belátni, hogy minden n pozitív egész szám írható egy 11-gyel osztható pozitív szám és egy az n számjegyeiből egyszerűen képezhető r szám összegeként: n=11J+r. Az r maradékot két összeg különbségeként írhatjuk. A kisebbítendő tagjai az n-ben jobbról számítva páratlan sorszámú helyeken álló számjegyek, vagyis amelyeknek helyi értéke 10-nek páros kitevős hatványa (lásd a (2) alakot), ‐ a kivonandó tagjai pedig n további, a páros sorszámú helyeken álló számjegyei, vagyis a 102k+1 helyi értékűek (lásd az (1) alakot).
Ez azt jelenti, hogy bármely pozitív egész szám 11-es maradéka ugyanaz, mint az r szám 11-es maradéka, ha r nem negatív. Ha pedig r negatív, akkor r helyett bármely r'=r+11K alakú pozitív szám vehető.
A számok 11-es maradéka felhasználásával a ,,9-es próba'' mintájára megadhatjuk a kívánt feltételeket és azokat együttesen ,,11-es próbának'' nevezhetjük. A sokak előtt ismeretes, de többnyire hiányosan megfogalmazott 9-es próba a következőket mondja ki.
α) Egy szám 9-cel való osztásánál fellépő maradék ‐ röviden: a szám 9-es maradéka ‐ egyenlő a szám számjegyei összegének 9-es maradékával. Ennek esetleg ismételt alkalmazásával rövid úton megkaphatjuk az adott szám 9-cel való osztásában fellépő legkisebb nem-negatív 9-es maradékát, pl. 878 kilences maradéka annyi, mint 8+7+8=23-é, ezé pedig annyi mint 2+3=5-é, vagyis 5; valóban, 878=979+5; szorosabb értelemben ezt szokás nevezni 9-es maradéknak.
β) Ahhoz, hogy adott számok összegére közölt szám helyes legyen, szükséges, hogy az ,,összeg'' 9-es maradéka egyenlő legyen az összeadandók 9-es maradékaiból képezett összeg 9-es maradékával. (Vagyis ha a kívánt megegyezés nem teljesül, akkor az összegként közölt szám hibás, vagy pedig a ,,könnyebb'' számításokban van hiba). A maradékok megegyezése viszont természetesen nem biztosítja a közölt eredmény helyességét, hiszen pl. egy számban két jegyet felcserélve általában más számot kapunk, de maradéka ugyanaz, ‐ vagyis e feltétel szükséges, de nem elegendő.
γ) Hasonló a különbség és a szorzat helyességének feltétele. Nem lehet helyes a különbség, ha 9-es maradéka nem egyezik a tagjai 9-es maradékából (ugyanazon sorrendben) képezett különbséggel (ill. ‐ ha ez negatívnak adódnék, a 9-cel nagyobb számmal). Nem lehet helyes a szorzat, ha 9-es maradéka nem egyezik a tényezői 9-es maradékából képezett szorzat 9-es maradékával.
δ) Mivel az osztást (teljes pontossággal) szorzással és összeadással ellenőrizzük: a q hányadost és r maradékot adó a:b osztás akkor és csak akkor helyes, ha qb+r=a, azért a hányados és a maradék egyidejű helyességéhez szükséges, hogy a q és b 9-es maradékainak szorzatából és r-ből képezett összeg 9-es maradéka egyenlő legyen a 9-es maradékával.
ε) A 9-es próba az alapműveletek eredményének csupán számjegyeivel, vagyis ,,alaki értékekkel'' foglalkozik, azért tizedes törtekkel végzett alapműveletek eredményének ellenőrzésére is használható.
E feltételek bizonyítására arra hivatkozunk, hogy ha az n szám 9-es maradéka r, akkor n-r osztható 9-cel: n-r=9A. Már pedig 9-cel osztható számok összege, különbsége, ugyancsak osztható 9-cel:
(n1-r1)+(n2-r2)+...+(nk-rk)=9(A1+A2+...+Ak),
tehát valóban
(n1+n2+...+nk)-(r1+r2+...+rk)=9B;
és hasonlóan
(n1-r1)-(n2-r2)=(n1-n2)-(r1-r2)=9(A1-A2)=9C.
Szorzásnál az n=9A+r alakból kiindulva
n1n2=(9A1+r1)(9A2+r2)=9(A1r2+A2r1+9A1A2)+r1r2,
így ismét
n1n2-r1r2=9D,
és ‐ a különbségre tett megállapítás megfordításával ‐ ha egy különbség osztható 9-cel, akkor tagjainak 9-es maradéka egyenlő.
Nyilvánvaló, hogy amíg egész számokról van szó, a β)δ) megállapítások változatlanul átvehetők a 11-es próba ,,használati utasításába''. A 11-es maradék megállapításában azonban a számjegyek helyi értéke is lényeges; pl. 420-nak és a belőle a tizedesvessző eltolásával adódott 42-nek 11-es maradékai különbözők: 2, ill. -2, azaz 9, azért tizedes jegyeket is tartalmazó számokkal végzett műveletek ellenőrzéséhez további meggondolás szükséges. A példát folytatva 4200, 42 000, 420 000, ...11-es maradéka váltakozva 9, 2, 9, ...-nek adódik. Kézenfekvő volna ennek alapján a 4,2, és 0,42 tizedes törtek 11-es maradékát is 2-nek, 9-nek venni, de a ,,szabályok'' átírása hosszadalmas volna. Gyakorlatilag megfelelő, ha a műveletben megadott számokat 102=100 olyan alkalmas hatványával szorozzuk, hogy egészek adódjanak és ‐ osztásban ‐ a hányados kiszámított része is egész legyen. Így ugyanis az osztási maradék is egész.
 

Megjegyzés. Tudatosítani kívánjuk olvasóinkban azt, hogy a fenti próbák alkalmazása minden esetre azt jelenti, hogy az alkalmazó még nem tekinti a szóban forgó műveletet befejezettnek. Ez a magyarázata annak, hogy egyesek ,,nem matematikai'' szabálynak tekintik e próbákat. Valóban ,,a matematikában'' a számítási eredményelv helyességét általában már feltételezik, ott már nem ez a kérdés; viszont eredménynek csak felelősséggel ellenőrzött adatot fogadunk el. Ámde az emberi élet semmiféle számszerű vonatkozása nem zárható ki a matematikából, vagyis a számítási folyamat kérdései sem. A fenti próbák sem a tapasztalatból adódtak, hanem az elmélet állapította meg azokat a gyakorlati számítás céljára.
Másrészt felhívjuk versenyzőinket, hogy minden számításukat valamilyen alkalmas módon ellenőrizzék. Sok elvben helyes dolgozatot a numerikus hibák rontanak el.