|
Feladat: |
609. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Benczúr A. , Csákó Gy. , Dobó F. , Fajszi Cs. , Farkas Z. , Felszeghy T. , Gálfi l. , Görbe T. , Katona Éva , Katona Mária , Kerényi Ilona , Kiss G. , Kóta J. , Kunszt Z. , Markó J. , Minkó B. , Nádasdy G. , Nagy Dénes L. , Nováky B. , Sebestyén Z. , Simonovits M. , Sonnevend Gy. , Szidarovszky F. , Tasnády Mária , Vesztergombi Gy. , Zalán P. |
Füzet: |
1960/november,
145 - 147. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1960/január: 609. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha helyére 10-et, , , , , helyére pedig számjegyeket írunk (vagyis a számokat), akkor az azonosság bal oldalán a tízes számrendszer legfeljebb 5 jeggyel írható számát kapjuk. Másrészt így , és ez a jobb oldal első négy tagjának osztója, mert
Ezért az , , betűkkel alkalmas egész számokat jelölve | | továbbá tehát
Ez azt jelenti, hogy az és számok 11-gyel való osztásánál ugyanaz a maradék lép fel, hacsak nem negatív; más szóval: osztható 11-gyel. Pl. 62 738 és osztásánál a maradék egyformán 5, mert és . Ha az osztásból csak a maradékra van szükségünk, azt így jóval egyszerűbben megállapíthatjuk. Ha negatív, akkor helyette alapján a fenti állítást a számról mondhatjuk ki, ez pedig pozitív. (Esetleg már sem negatív.) Pl. 29 180-nak ,,11-es maradéka'' 8, mert és az helyett vett szám ugyancsak: . Az eljárás 5-nél kevesebb jegyű számokra is alkalmazható, pl. az első példában kapott ,,16'' számra és . Az eljárást ki lehet terjeszteni akárhány jegyű számokra. Mert a két egyenlő páratlan kitevős hatvány összegének, valamint a két egyenlő kitevős hatvány különbségének szorzattá alakításáról ismert azonosságok szerint | | és
Itt -et írva látjuk, hogy és vagyis 10-nek minden (pozitív) páratlan kitevős hatványa 1-gyel kisebb, és minden (pozitív) páros kitevős hatványa 1-gyel nagyobb egy 11-gyel osztható számnál. Ebből az adott azonosság mintájára könnyű belátni, hogy minden pozitív egész szám írható egy 11-gyel osztható pozitív szám és egy az számjegyeiből egyszerűen képezhető szám összegeként: . Az maradékot két összeg különbségeként írhatjuk. A kisebbítendő tagjai az -ben jobbról számítva páratlan sorszámú helyeken álló számjegyek, vagyis amelyeknek helyi értéke 10-nek páros kitevős hatványa (lásd a (2) alakot), ‐ a kivonandó tagjai pedig további, a páros sorszámú helyeken álló számjegyei, vagyis a helyi értékűek (lásd az (1) alakot). Ez azt jelenti, hogy bármely pozitív egész szám 11-es maradéka ugyanaz, mint az szám 11-es maradéka, ha nem negatív. Ha pedig negatív, akkor helyett bármely alakú pozitív szám vehető. A számok 11-es maradéka felhasználásával a ,,9-es próba'' mintájára megadhatjuk a kívánt feltételeket és azokat együttesen ,,11-es próbának'' nevezhetjük. A sokak előtt ismeretes, de többnyire hiányosan megfogalmazott 9-es próba a következőket mondja ki. ) Egy szám 9-cel való osztásánál fellépő maradék ‐ röviden: a szám 9-es maradéka ‐ egyenlő a szám számjegyei összegének 9-es maradékával. Ennek esetleg ismételt alkalmazásával rövid úton megkaphatjuk az adott szám 9-cel való osztásában fellépő legkisebb nem-negatív 9-es maradékát, pl. 878 kilences maradéka annyi, mint -é, ezé pedig annyi mint -é, vagyis 5; valóban, ; szorosabb értelemben ezt szokás nevezni 9-es maradéknak. ) Ahhoz, hogy adott számok összegére közölt szám helyes legyen, szükséges, hogy az ,,összeg'' 9-es maradéka egyenlő legyen az összeadandók 9-es maradékaiból képezett összeg 9-es maradékával. (Vagyis ha a kívánt megegyezés nem teljesül, akkor az összegként közölt szám hibás, vagy pedig a ,,könnyebb'' számításokban van hiba). A maradékok megegyezése viszont természetesen nem biztosítja a közölt eredmény helyességét, hiszen pl. egy számban két jegyet felcserélve általában más számot kapunk, de maradéka ugyanaz, ‐ vagyis e feltétel szükséges, de nem elegendő. ) Hasonló a különbség és a szorzat helyességének feltétele. Nem lehet helyes a különbség, ha 9-es maradéka nem egyezik a tagjai 9-es maradékából (ugyanazon sorrendben) képezett különbséggel (ill. ‐ ha ez negatívnak adódnék, a 9-cel nagyobb számmal). Nem lehet helyes a szorzat, ha 9-es maradéka nem egyezik a tényezői 9-es maradékából képezett szorzat 9-es maradékával. ) Mivel az osztást (teljes pontossággal) szorzással és összeadással ellenőrizzük: a hányadost és maradékot adó osztás akkor és csak akkor helyes, ha , azért a hányados és a maradék egyidejű helyességéhez szükséges, hogy a és 9-es maradékainak szorzatából és -ből képezett összeg 9-es maradéka egyenlő legyen 9-es maradékával. ) A 9-es próba az alapműveletek eredményének csupán számjegyeivel, vagyis ,,alaki értékekkel'' foglalkozik, azért tizedes törtekkel végzett alapműveletek eredményének ellenőrzésére is használható. E feltételek bizonyítására arra hivatkozunk, hogy ha az szám 9-es maradéka , akkor osztható 9-cel: . Már pedig 9-cel osztható számok összege, különbsége, ugyancsak osztható 9-cel: | | tehát valóban | | és hasonlóan | | Szorzásnál az alakból kiindulva | | így ismét és ‐ a különbségre tett megállapítás megfordításával ‐ ha egy különbség osztható 9-cel, akkor tagjainak 9-es maradéka egyenlő. Nyilvánvaló, hogy amíg egész számokról van szó, a )‐) megállapítások változatlanul átvehetők a 11-es próba ,,használati utasításába''. A 11-es maradék megállapításában azonban a számjegyek helyi értéke is lényeges; pl. 420-nak és a belőle a tizedesvessző eltolásával adódott 42-nek 11-es maradékai különbözők: 2, ill. , azaz 9, azért tizedes jegyeket is tartalmazó számokkal végzett műveletek ellenőrzéséhez további meggondolás szükséges. A példát folytatva 4200, 42 000, 420 000, 11-es maradéka váltakozva 9, 2, 9, -nek adódik. Kézenfekvő volna ennek alapján a , és tizedes törtek 11-es maradékát is 2-nek, 9-nek venni, de a ,,szabályok'' átírása hosszadalmas volna. Gyakorlatilag megfelelő, ha a műveletben megadott számokat olyan alkalmas hatványával szorozzuk, hogy egészek adódjanak és ‐ osztásban ‐ a hányados kiszámított része is egész legyen. Így ugyanis az osztási maradék is egész. Megjegyzés. Tudatosítani kívánjuk olvasóinkban azt, hogy a fenti próbák alkalmazása minden esetre azt jelenti, hogy az alkalmazó még nem tekinti a szóban forgó műveletet befejezettnek. Ez a magyarázata annak, hogy egyesek ,,nem matematikai'' szabálynak tekintik e próbákat. Valóban ,,a matematikában'' a számítási eredményelv helyességét általában már feltételezik, ott már nem ez a kérdés; viszont eredménynek csak felelősséggel ellenőrzött adatot fogadunk el. Ámde az emberi élet semmiféle számszerű vonatkozása nem zárható ki a matematikából, vagyis a számítási folyamat kérdései sem. A fenti próbák sem a tapasztalatból adódtak, hanem az elmélet állapította meg azokat a gyakorlati számítás céljára. Másrészt felhívjuk versenyzőinket, hogy minden számításukat valamilyen alkalmas módon ellenőrizzék. Sok elvben helyes dolgozatot a numerikus hibák rontanak el. |
|