Kezdőlap


Feladat:	609. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Benczúr A. , Csákó Gy. , Dobó F. , Fajszi Cs. , Farkas Z. , Felszeghy T. , Gálfi l. , Görbe T. , Katona Éva , Katona Mária , Kerényi Ilona , Kiss G. , Kóta J. , Kunszt Z. , Markó J. , Minkó B. , Nádasdy G. , Nagy Dénes L. , Nováky B. , Sebestyén Z. , Simonovits M. , Sonnevend Gy. , Szidarovszky F. , Tasnády Mária , Vesztergombi Gy. , Zalán P.
Füzet:	1960/november, 145 - 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/január: 609. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $x$ helyére 10-et, $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ helyére pedig számjegyeket írunk (vagyis a $0, 1, 2, ..., 8, 9$ számokat), akkor az azonosság bal oldalán a tízes számrendszer legfeljebb 5 jeggyel írható $a \cdot 10^{4} + b \cdot 10^{3} + c \cdot 10^{2} + d \cdot 10 + e = \bar{a b c d e}$ számát kapjuk. Másrészt így $11 = x + 1$ , és ez a jobb oldal első négy tagjának osztója, mert

\begin{matrix} x^{4} - 1 = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1) = [(x^{2} + 1) (x - 1)] (x + 1), \\ x^{3} + 1 = (x^{2} - x + 1) (x + 1), \\ x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1) . \end{matrix}

Ezért az

A

B

C, ...

betűkkel alkalmas egész számokat jelölve

\begin{matrix} 10^{4} = 11 A + 1, 10^{3} = 11 B - 1, 10^{2} = 11 C + 1, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} 10 = 11 D - 1 és 1 = 11 E + 1, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \bar{a b c d e} & = 11 (A a + B b + C c + D d) + (a - b + c - d + e) \\ = 11 F + [(e + c + a) - (d + b)] = 11 F + r . \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy az

\bar{a b c d e}

és

r

számok 11-gyel való osztásánál ugyanaz a maradék lép fel, hacsak

r

nem negatív; más szóval:

\bar{a b c d e} - r

osztható 11-gyel. Pl. 62 738 és

r = (8 + 7 + 6) - (3 + 2) = 16

osztásánál a maradék egyformán 5, mert

62 738 = 5703 \cdot 11 + 5

és

16 = 1 \cdot 11 + 5

. Ha az osztásból csak a maradékra van szükségünk, azt így jóval egyszerűbben megállapíthatjuk.
Ha

r

negatív, akkor helyette

\begin{matrix} \bar{a b c d e} = 11 (F - 2) + (r + 22) \end{matrix}

alapján a fenti állítást a

r + 22

számról mondhatjuk ki, ez pedig pozitív. (Esetleg már

r + 11

sem negatív.) Pl. 29 180-nak ,,11-es maradéka'' 8, mert

29 180 =

= 2652 \cdot 11 + 8

és az

r = (0 + 1 + 2) - (8 + 9) = - 14

helyett vett szám ugyancsak:

r + 22 = 8

.
Az eljárás 5-nél kevesebb jegyű számokra is alkalmazható, pl. az első példában kapott ,,16'' számra

a = b = c = 0

és

r = 6 - 1 = 5

.
Az eljárást ki lehet terjeszteni akárhány jegyű számokra. Mert a két egyenlő páratlan kitevős hatvány összegének, valamint a két egyenlő kitevős hatvány különbségének szorzattá alakításáról ismert azonosságok szerint

\begin{matrix} x^{2 k + 1} + 1 = (x^{2 k} - x^{2 k - 1} + x^{2 k - 2} - ... - x + 1) (x + 1) \end{matrix}

és

\begin{matrix} x^{2 k} - 1 & = {(x^{2})}^{k} - 1 = [{(x^{2})}^{k - 1} + {(x^{2})}^{k - 2} + ... + x^{2} + 1] (x^{2} - 1) = \\ = [(x^{2 k - 2} + x^{2 k - 4} + ... + x^{2} + 1) (x - 1)] (x + 1) . \end{matrix}

Itt

x = 10

-et írva látjuk, hogy

\begin{matrix} 10^{2 k + 1} = 11 G - 1, \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} 10^{2 k} = 11 H + 1, \end{matrix}

(2)

vagyis 10-nek minden (pozitív) páratlan kitevős hatványa 1-gyel kisebb, és minden (pozitív) páros kitevős hatványa 1-gyel nagyobb egy 11-gyel osztható számnál. Ebből az adott azonosság mintájára könnyű belátni, hogy minden

n

pozitív egész szám írható egy 11-gyel osztható pozitív szám és egy az

n

számjegyeiből egyszerűen képezhető

r

szám összegeként:

n = 11 J + r

. Az

r

maradékot két összeg különbségeként írhatjuk. A kisebbítendő tagjai az

n

-ben jobbról számítva páratlan sorszámú helyeken álló számjegyek, vagyis amelyeknek helyi értéke 10-nek páros kitevős hatványa (lásd a (2) alakot), ‐ a kivonandó tagjai pedig

n

további, a páros sorszámú helyeken álló számjegyei, vagyis a

10^{2 k + 1}

helyi értékűek (lásd az (1) alakot).
Ez azt jelenti, hogy bármely pozitív egész szám 11-es maradéka ugyanaz, mint az

r

szám 11-es maradéka, ha

r

nem negatív. Ha pedig

r

negatív, akkor

r

helyett bármely

r' = r + 11 K

alakú pozitív szám vehető.
A számok 11-es maradéka felhasználásával a ,,9-es próba'' mintájára megadhatjuk a kívánt feltételeket és azokat együttesen ,,11-es próbának'' nevezhetjük. A sokak előtt ismeretes, de többnyire hiányosan megfogalmazott 9-es próba a következőket mondja ki.

α

) Egy szám 9-cel való osztásánál fellépő maradék ‐ röviden: a szám 9-es maradéka ‐ egyenlő a szám számjegyei összegének 9-es maradékával. Ennek esetleg ismételt alkalmazásával rövid úton megkaphatjuk az adott szám 9-cel való osztásában fellépő legkisebb nem-negatív 9-es maradékát, pl. 878 kilences maradéka annyi, mint

8 + 7 + 8 = 23

-é, ezé pedig annyi mint

2 + 3 = 5

-é, vagyis 5; valóban,

878 = 97 \cdot 9 + 5

; szorosabb értelemben ezt szokás nevezni 9-es maradéknak.

β

) Ahhoz, hogy adott számok összegére közölt szám helyes legyen, szükséges, hogy az ,,összeg'' 9-es maradéka egyenlő legyen az összeadandók 9-es maradékaiból képezett összeg 9-es maradékával. (Vagyis ha a kívánt megegyezés nem teljesül, akkor az összegként közölt szám hibás, vagy pedig a ,,könnyebb'' számításokban van hiba). A maradékok megegyezése viszont természetesen nem biztosítja a közölt eredmény helyességét, hiszen pl. egy számban két jegyet felcserélve általában más számot kapunk, de maradéka ugyanaz, ‐ vagyis e feltétel szükséges, de nem elegendő.

γ

) Hasonló a különbség és a szorzat helyességének feltétele. Nem lehet helyes a különbség, ha 9-es maradéka nem egyezik a tagjai 9-es maradékából (ugyanazon sorrendben) képezett különbséggel (ill. ‐ ha ez negatívnak adódnék, a 9-cel nagyobb számmal). Nem lehet helyes a szorzat, ha 9-es maradéka nem egyezik a tényezői 9-es maradékából képezett szorzat 9-es maradékával.

δ

) Mivel az osztást (teljes pontossággal) szorzással és összeadással ellenőrizzük: a

q

hányadost és

r

maradékot adó

a : b

osztás akkor és csak akkor helyes, ha

q b + r = a

, azért a hányados és a maradék egyidejű helyességéhez szükséges, hogy a

q

és

b

9-es maradékainak szorzatából és

r

-ből képezett összeg 9-es maradéka egyenlő legyen

a

9-es maradékával.

ε

) A 9-es próba az alapműveletek eredményének csupán számjegyeivel, vagyis ,,alaki értékekkel'' foglalkozik, azért tizedes törtekkel végzett alapműveletek eredményének ellenőrzésére is használható.
E feltételek bizonyítására arra hivatkozunk, hogy ha az

n

szám 9-es maradéka

r

, akkor

n - r

osztható 9-cel:

n - r = 9 A

. Már pedig 9-cel osztható számok összege, különbsége, ugyancsak osztható 9-cel:

\begin{matrix} (n_{1} - r_{1}) + (n_{2} - r_{2}) + ... + (n_{k} - r_{k}) = 9 (A_{1} + A_{2} + ... + A_{k}), \end{matrix}

tehát valóban

\begin{matrix} (n_{1} + n_{2} + ... + n_{k}) - (r_{1} + r_{2} + ... + r_{k}) = 9 B; \end{matrix}

és hasonlóan

\begin{matrix} (n_{1} - r_{1}) - (n_{2} - r_{2}) = (n_{1} - n_{2}) - (r_{1} - r_{2}) = 9 (A_{1} - A_{2}) = 9 C . \end{matrix}

Szorzásnál az

n = 9 A + r

alakból kiindulva

\begin{matrix} n_{1} n_{2} = (9 A_{1} + r_{1}) (9 A_{2} + r_{2}) = 9 (A_{1} r_{2} + A_{2} r_{1} + 9 A_{1} A_{2}) + r_{1} r_{2}, \end{matrix}

így ismét

\begin{matrix} n_{1} n_{2} - r_{1} r_{2} = 9 D, \end{matrix}

és ‐ a különbségre tett megállapítás megfordításával ‐ ha egy különbség osztható 9-cel, akkor tagjainak 9-es maradéka egyenlő.
Nyilvánvaló, hogy amíg egész számokról van szó, a

β

)‐

δ

) megállapítások változatlanul átvehetők a 11-es próba ,,használati utasításába''. A 11-es maradék megállapításában azonban a számjegyek helyi értéke is lényeges; pl. 420-nak és a belőle a tizedesvessző eltolásával adódott 42-nek 11-es maradékai különbözők: 2, ill.

- 2

, azaz 9, azért tizedes jegyeket is tartalmazó számokkal végzett műveletek ellenőrzéséhez további meggondolás szükséges. A példát folytatva 4200, 42 000, 420 000,

...

11-es maradéka váltakozva 9, 2, 9,

...

-nek adódik. Kézenfekvő volna ennek alapján a

4, 2

, és

0, 42

tizedes törtek 11-es maradékát is 2-nek, 9-nek venni, de a ,,szabályok'' átírása hosszadalmas volna. Gyakorlatilag megfelelő, ha a műveletben megadott számokat

10^{2} = 100

olyan alkalmas hatványával szorozzuk, hogy egészek adódjanak és ‐ osztásban ‐ a hányados kiszámított része is egész legyen. Így ugyanis az osztási maradék is egész.

Megjegyzés. Tudatosítani kívánjuk olvasóinkban azt, hogy a fenti próbák alkalmazása minden esetre azt jelenti, hogy az alkalmazó még nem tekinti a szóban forgó műveletet befejezettnek. Ez a magyarázata annak, hogy egyesek ,,nem matematikai'' szabálynak tekintik e próbákat. Valóban ,,a matematikában'' a számítási eredményelv helyességét általában már feltételezik, ott már nem ez a kérdés; viszont eredménynek csak felelősséggel ellenőrzött adatot fogadunk el. Ámde az emberi élet semmiféle számszerű vonatkozása nem zárható ki a matematikából, vagyis a számítási folyamat kérdései sem. A fenti próbák sem a tapasztalatból adódtak, hanem az elmélet állapította meg azokat a gyakorlati számítás céljára.
Másrészt felhívjuk versenyzőinket, hogy minden számításukat valamilyen alkalmas módon ellenőrizzék. Sok elvben helyes dolgozatot a numerikus hibák rontanak el.