Feladat: 402. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Halász Gábor ,  Hornyánszky Tamás 
Füzet: 1957/november, 119. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/február: 402. matematika gyakorlat

Mutassuk meg, hogy egyenlőoldalú háromszög esetén
ϱ'(ϱ+ϱ')=a2,
ahol a a háromszög oldala, ϱ a beírt kör sugara, ϱ' a hozzáírt kör sugara.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A betűzést az ábra mutatja.

 

 

Egyenlő oldalú háromszögben a szögfelezők, a súlyvonalak és a magasságvonalak egybeesnek, és így ϱ=m3.
Mivel a külső szögfelezők a belsőkre merőlegesek, és így a szemközti oldalakkal párhuzamosak, azért ABO1C paralelogramma, vagyis ϱ'=m. Tehát
ϱ'(ϱ+ϱ')=m(m3+m)=4m23=43(a23)2=433a24=a2,
ami bizonyítandó volt.
 

Halász Gábor (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)
 

II. megoldás: Mivel az ABO1C paralelogrammának két szomszédos oldala AB=AC=a, azért a paralelogramma rombusz, és így BO1=a, és az átlók egymásra merőlegesek. A külső és belső szögfelezők merőlegesek egymásra, tehát az OBO1 derékszögű. Ismert tétel szerint a BO1=a befogó mértani középarányos az egész átfogó (OO1=ϱ+ϱ') és a befogónak az átfogón levő merőleges vetülete (ϱ') között, vagyis
a2=(ϱ+ϱ')ϱ',
ami bizonyítandó volt.
 

Hornyánszky Tamás (Bp. VIII.; Piarista g. I. o. t.)