Feladat: F.2995 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Farkas Illés ,  Kovács Baldvin ,  Kucsera Judit 
Füzet: 1994/december, 494 - 495. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometria, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Rombuszok, Egyéb sokszögek egybevágósága, Sík parkettázás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/január: F.2995

Határozzuk meg a címlapon található 9-szögek szögeit (ld. még a szöveget a belső borítón*).
 
A címlap ábrájának kinagyított részlete


*A címlapon látható kép első pillantásra valamilyen őskori lábasfejű (Ammonites) vázának tűnhet. Vagy talán lépcsőház felülnézetből? Tüzetesebben szemügyre véve rájövünk, hogy valójában a sík egy egyrétű lefedését látjuk egybevágó (konkáv) 9-szögekkel.
 
A jól ismert (3-, 4-, ill. 6-szögekkel történő) egyrétű lefedések mellett létezik tehát (nemperiodikus) lefedés egybevágó, egyenlő oldalú, de nem szabályos 9-szögekkel is.
Pelikán József

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a 9-szög oldalát a-val, a (konvex) AIH szöget pedig x-szel. Jelölje továbbá AIHk azt a szöget, amelynek csúcsa az I pont, és az AIH-et 360-ra egészíti ki. A lefedés tényéből következik, hogy

AIH=BCD=NJK=JKL=IHG=x.

Hasonlóan megmutatható, hogy HGF=x. Ezekből következik, hogy
BCDk=CDEk=DEFk=360-x.

Mivel JAB=x és JAI=ABC,
IAB+ABC=x.

Osszuk fel az ABCDEFGHI 9-szöget hét háromszögre az ábra szerint. A 9-szög belső szögeinek összege 7180. (1) és (2) alapján
AIH+IHG+HGF+BCDk+CDEk+DEFk=3360,

ezért
IAB+ABC+EFG=180.

Ebből (3) szerint EFC=180-x. A HGFE négyszögben
HGF+EFG=x+180-x=180,

és HG=GF=FE=a, ezért ez a négyszög rombusz. Hasonlóan megmutatható, hogy HEDI és IDCA is a oldalú rombusz. De akkor az ABC szabályos, és az ABC=60.
A többi szög meghatározásához vegyük figyelembe, hogy

AID=ACD=360-x-60=300-x,továbbá(1)HID=HED=360-2x.(2)

Mivel AIH=AID+HID, (4) és (5) alapján x=300-x+360-2x, amiből x=165. Így EFG=15 és BAI=105.
Tehát az ABCDEFGHI 9-szög szögei rendre:
105,60,195,195,195,15,165,165,165.

Kucsera Judit (Révkomárom, Magyar Tannyelvű Gimn., II. o. t.)