Kezdőlap


Feladat:	F.2995	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Illés , Kovács Baldvin , Kucsera Judit
Füzet:	1994/december, 494 - 495. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometria, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Rombuszok, Egyéb sokszögek egybevágósága, Sík parkettázás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/január: F.2995

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a 9-szög oldalát $a$ -val, a (konvex) $A I H$ szöget pedig $x$ -szel. Jelölje továbbá $A I H_{k} ∢$ azt a szöget, amelynek csúcsa az $I$ pont, és az $A I H ∢$ -et $360^{\circ}$ -ra egészíti ki. A lefedés tényéből következik, hogy

\begin{matrix} A I H ∢ = B C D ∢ = N J K ∢ = J K L ∢ = I H G ∢ = x . \end{matrix}

Hasonlóan megmutatható, hogy

H G F ∢ = x

. Ezekből következik, hogy

\begin{matrix} B C D_{k} ∢ = C D E_{k} ∢ = D E F_{k} ∢ = 360^{\circ} - x . \end{matrix}

Mivel

J A B ∢ = x

és

J A I ∢ = A B C ∢

\begin{matrix} I A B ∢ + A B C ∢ = x . \end{matrix}

Osszuk fel az

A B C D E F G H I

9-szöget hét háromszögre az ábra szerint. A 9-szög belső szögeinek összege

7 \cdot 180^{\circ}

. (1) és (2) alapján

\begin{matrix} A I H ∢ + I H G ∢ + H G F ∢ + B C D_{k} ∢ + C D E_{k} ∢ + D E F_{k} ∢ = 3 \cdot 360^{\circ}, \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} I A B ∢ + A B C ∢ + E F G ∢ = 180^{\circ} . \end{matrix}

Ebből (3) szerint

E F C ∢ = 180^{\circ} - x

. A

H G F E

négyszögben

\begin{matrix} H G F ∢ + E F G ∢ = x + 180^{\circ} - x = 180^{\circ}, \end{matrix}

és

H G = G F = F E = a

, ezért ez a négyszög rombusz. Hasonlóan megmutatható, hogy

H E D I

és

I D C A

a

oldalú rombusz. De akkor az

A B C ▵

szabályos, és az

A B C ∢ = 60^{\circ}

.
A többi szög meghatározásához vegyük figyelembe, hogy

\begin{matrix} A I D ∢ & = A C D ∢ = 360^{\circ} - x - 60^{\circ} = 300^{\circ} - x, továbbá & (1) \\ H I D ∢ & = H E D ∢ = 360^{\circ} - 2 x . & (2) \end{matrix}

Mivel

A I H ∢ = A I D ∢ + H I D ∢

, (4) és (5) alapján

x = 300^{\circ} - x + 360^{\circ} - 2 x

, amiből

x = 165^{\circ}

. Így

E F G ∢ = 15^{\circ}

és

B A I ∢ = 105^{\circ}

.
Tehát az

A B C D E F G H I

9-szög szögei rendre:

\begin{matrix} 105^{\circ}, 60^{\circ}, 195^{\circ}, 195^{\circ}, 195^{\circ}, 15^{\circ}, 165^{\circ}, 165^{\circ}, 165^{\circ} . \end{matrix}

Kucsera Judit (Révkomárom, Magyar Tannyelvű Gimn., II. o. t.)