Feladat: F.2977 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bárász Mihály ,  Gyarmati Katalin ,  Kegyes Bálint ,  Kovács Baldvin ,  Maróti Gábor ,  Sánta Zsuzsa ,  Szobonya László ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1994/április, 206 - 208. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Ceva-tétel, Szögfelező egyenes, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Háromszög területe, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/október: F.2977

Az ABC háromszög szögfelezői a szemközti oldalakat a P, Q, R pontokban metszik. A háromszög területe t. Bizonyítsuk be, hogy a PQR háromszög területe legfeljebb t/4.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit. Ismeretes, hogy a háromszög bármelyik szögfelezője a szög csúcsával szemközti oldalt a szöget bezáró oldalak arányában osztja. Ezért pl.

AQ=bca+c,AR=bca+b.
Jelöljük pl. az AQR háromszög területét tAQR-rel. A bizonyítandó állítás nyilván ekvivalens azzal, hogy tAQR+tBPR+tCPQ34-t, amiből
tAQRt+tBPRt+tCPQt34.
A háromszögek területét két oldallal és a közbezárt szöggel kifejezve (2) bal oldalának első tagja így alakul:
tAQRt=12bca+bsinα12bcsinα=bc(a+b)(a+c).
Hasonlóan írhatjuk föl a (2) bal oldalán szereplő másik két tagot. Ezért a belátandó egyenlőtlenség:
bc(a+b)(a+c)+ac(a+b)(b+c)+ab(a+b)(b+c)34.
A tötet eltávolítva és a szorzásokat elvégezve:
4(bc2+b2c+a2c+ac2+ab2+a2b)3(a2b+ab2+a2c+ac2+bc2+b2c)+6abc,


amiből
bc2+b2c+a2c+ac2+ab2+a2b6abc.
a (3) számlálójában lévő 6 tag mértani közepe a6b6c66=abc, ezért (3) igaz. Egyenlőség pontosan akkor van, ha a=b=c. Mivel átalakításaink megfordíthatók, a feladat állítását megmutattuk.
Megjegyzés. Néhány megoldónk szögfelezők helyett a háromszög egy belső pontján áthaladó ‐ egyébként tetszőleges ‐ AP,BQ,CR esetén is megmutatta, hogy tPQRt4. Ez a következőképpen történhet. Ha az R pont az AB oldalt k:(1-k) arányban osztja, és hasonlóan BP:PC=l:(1-l), illetve CQ:QA=m:(1-m), akkor a bizonyítandó állítás:
t-tk(1-m)-tm(1-l)-tl(1-k)t4,
és felhasználhatjuk, hogy a Ceva-tétel szerint
k1-kl1-lm1-m=1.
Szobolya László (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján