|
Feladat: |
F.2977 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bárász Mihály , Gyarmati Katalin , Kegyes Bálint , Kovács Baldvin , Maróti Gábor , Sánta Zsuzsa , Szobonya László , Valkó Benedek |
Füzet: |
1994/április,
206 - 208. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Algebrai átalakítások, Ceva-tétel, Szögfelező egyenes, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Háromszög területe, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1993/október: F.2977 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Használjuk az ábra jelöléseit. Ismeretes, hogy a háromszög bármelyik szögfelezője a szög csúcsával szemközti oldalt a szöget bezáró oldalak arányában osztja. Ezért pl. Jelöljük pl. az háromszög területét -rel. A bizonyítandó állítás nyilván ekvivalens azzal, hogy -t, amiből A háromszögek területét két oldallal és a közbezárt szöggel kifejezve (2) bal oldalának első tagja így alakul: | | Hasonlóan írhatjuk föl a (2) bal oldalán szereplő másik két tagot. Ezért a belátandó egyenlőtlenség: | | A tötet eltávolítva és a szorzásokat elvégezve:
amiből | | a (3) számlálójában lévő 6 tag mértani közepe ezért (3) igaz. Egyenlőség pontosan akkor van, ha . Mivel átalakításaink megfordíthatók, a feladat állítását megmutattuk. Megjegyzés. Néhány megoldónk szögfelezők helyett a háromszög egy belső pontján áthaladó ‐ egyébként tetszőleges ‐ esetén is megmutatta, hogy . Ez a következőképpen történhet. Ha az pont az oldalt arányban osztja, és hasonlóan , illetve , akkor a bizonyítandó állítás: | | és felhasználhatjuk, hogy a Ceva-tétel szerint Szobolya László (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján |
|
|