Feladat: F.2975 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Burcsi Péter ,  Kozma Róbert ,  Marx Dániel 
Füzet: 1994/április, 204 - 205. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/október: F.2975

Az a, b, c pozitív számok szorzata 1. Bizonyítsuk be, hogy ha
a+b+c>1/a+1/b+1/c,(4)
akkor az a, b és c közül pontosan az egyik nagyobb 1-nél.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szorozzuk meg a jobb oldalt abc=1-gyel, és rendezzünk minden tagot a bal oldalra (az egyenlőtlenség továbbra is fennmarad):

a+b+c>bc+ac+ab,
a+b+c-ab-bc-ca>0.

Adjunk a bal oldalhoz abc-1=0-t, akkor szorzattá lehet alakítani:
abc-ab-bc-ca+a+b+c>0,(a-1)(b-1)(c-1)>0.



Ez akkor teljesül, ha mindhárom tényező pozitív, vagy pedig egyikük pozitív, a másik kettő negatív. Ha azonban mindhárom tényező pozitív lenne, akkor a>1,b>1,c>1, ami ellentmond az abc=1 feltételnek. A három tényező közül tehát pontosan az egyik pozitív, ami azt jelenti, hogy a,b és c közül pontosan az egyik nagyobb 1-nél.
Marx Dániel (Budapest, Szent István Gimn. III.o.t.)

Megjegyzés. Talán kicsit váratlannak tűnik a megoldásban alkalmazott ötlet. Az (1) egyenlőtlenséghez más gondolatmenettel is eljuthatunk.
Mivel a-t, b-t és c-t 1-gyel akarjuk összehasonlítani, legyen a=1+x,b=1+y,c=1+z. Azt kell bebizonyítani, hogy ha (1+x)(1+y)(1+z)=1, azaz x+y+z+xy+xz+yz+xyz=0, és
3+x+y+z>11+x+11+y+11+z,
akkor, x,y és z közül pontosan az egyik pozitív. Ha (2)-t a megoldásban látott módon átrendezzük, akkor
0>x+y+z+xy+xz+yz,
vagyis, az
xyz>0
egyenlőtlenséget kapjuk.