Kezdőlap


Feladat:	F.2975	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Burcsi Péter , Kozma Róbert , Marx Dániel
Füzet:	1994/április, 204 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/október: F.2975

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szorozzuk meg a jobb oldalt $a b c = 1$ -gyel, és rendezzünk minden tagot a bal oldalra (az egyenlőtlenség továbbra is fennmarad):

\begin{matrix} a + b + c > b c + a c + a b, \end{matrix}

\begin{matrix} a + b + c - a b - b c - c a > 0. \end{matrix}

Adjunk a bal oldalhoz

a b c - 1 = 0

-t, akkor szorzattá lehet alakítani:

\begin{matrix} a b c - a b - b c - c a + a + b + c > 0, \\ (a - 1) (b - 1) (c - 1) > 0. \end{matrix}

Ez akkor teljesül, ha mindhárom tényező pozitív, vagy pedig egyikük pozitív, a másik kettő negatív. Ha azonban mindhárom tényező pozitív lenne, akkor

a > 1, b > 1, c > 1

, ami ellentmond az

a b c = 1

feltételnek. A három tényező közül tehát pontosan az egyik pozitív, ami azt jelenti, hogy

a, b

és

c

közül pontosan az egyik nagyobb 1-nél.

Marx Dániel (Budapest, Szent István Gimn. III.o.t.)

Megjegyzés. Talán kicsit váratlannak tűnik a megoldásban alkalmazott ötlet. Az (1) egyenlőtlenséghez más gondolatmenettel is eljuthatunk.
Mivel

a

-t,

b

-t és

c

-t 1-gyel akarjuk összehasonlítani, legyen

a = 1 + x, b = 1 + y, c = 1 + z

. Azt kell bebizonyítani, hogy ha

(1 + x) (1 + y) (1 + z) = 1

, azaz

x + y + z + x y + x z + y z + x y z = 0

, és

\begin{matrix} 3 + x + y + z > \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 + y} + \frac{1}{1 + z}, \end{matrix}

akkor,

x, y

és

z

közül pontosan az egyik pozitív. Ha (2)-t a megoldásban látott módon átrendezzük, akkor

\begin{matrix} 0 > x + y + z + x y + x z + y z, \end{matrix}

vagyis, az

\begin{matrix} x y z > 0 \end{matrix}

egyenlőtlenséget kapjuk.