Kezdőlap


Feladat:	F.2960	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Dienes Péter , Dőtsch András , Farkas Illés , Pete Gábor
Füzet:	1993/december, 509 - 510. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Derékszögű háromszögek geometriája, Szimmetrikus sokszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/április: F.2960

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a nyolcszög csúcsai $A$ , $B$ , $C$ , . . . , $H$ , oldalai $a$ , $b$ , $c$ , . . . , $h$ az ábra szerint.

Válasszuk pl. az

a

oldal hosszát egységnek. Mivel bármely két oldal aránya racionális, azért minden oldal hosszának mérőszáma racionális lesz.
A nyolcszög szögeinek összege

6 \cdot 180^{\circ}

, így egy-egy belső szög

135^{\circ}

, egy-egy külső szög pedig

45^{\circ}

. Ezért a nyolcszöget kiegészíthetjük ‐ az ábra szerint ‐ téglalappá. Az

E D R

háromszög egyenlő szárú és derékszögű, így

E R = \frac{d}{\sqrt[]{2}} .

Hasonlóan

F S = \frac{f}{\sqrt[]{2}}, A P = \frac{h}{\sqrt[]{2}} és B Q = \frac{b}{\sqrt[]{2}} .

A téglalap szemközti oldalai egyenlőek, így

P Q = S R

, azaz

a + \frac{b}{\sqrt[]{2}} + \frac{h}{\sqrt[]{2}} = e + \frac{d}{\sqrt[]{2}} + \frac{f}{\sqrt[]{2}} .

Ebből

(a - e) \sqrt[]{2} = d + f - b - h .

a \neq e

lenne, akkor

(a - e)

-vel osztva azt kapnánk, hogy

\sqrt[]{2}

racionális. Tehát

e = a .

Hasonló módon megmutathatjuk, hogy

b = f

és

c = g

.
Ebből már következik, hogy a nyolcszög középpontosan szimmetrikus, hiszen a szemközti oldalpárok paralelogrammákat feszítenek ki, így a rájuk illeszkedő szemközti csúcspárokat összekötő átlók felezik egymást. Ebből következik, hogy az összes szemközti csúcspárhoz tartozó átló felezőpontja egybeesik, tehát ez a pont szimmetria középpont.

Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn. III. o. t.)