Feladat: F.2960 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Dienes Péter ,  Dőtsch András ,  Farkas Illés ,  Pete Gábor 
Füzet: 1993/december, 509 - 510. oldal  PDF file
Témakör(ök): Racionális számok és tulajdonságaik, Derékszögű háromszögek geometriája, Szimmetrikus sokszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/április: F.2960

Tegyük fel, hogy egy konvex nyolcszögben minden szög egyenlő, és bármely két oldal hosszának aránya racionális szám. Mutassuk meg, hogy a nyolcszög középpontosan szimmetrikus.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a nyolcszög csúcsai A, B, C, . . . , H, oldalai a, b, c, . . . , h az ábra szerint.

 
 

Válasszuk pl. az a oldal hosszát egységnek. Mivel bármely két oldal aránya racionális, azért minden oldal hosszának mérőszáma racionális lesz.
A nyolcszög szögeinek összege 6180, így egy-egy belső szög 135, egy-egy külső szög pedig 45. Ezért a nyolcszöget kiegészíthetjük ‐ az ábra szerint ‐ téglalappá. Az EDR háromszög egyenlő szárú és derékszögű, így ER=d2. Hasonlóan FS=f2,AP=h2ésBQ=b2. A téglalap szemközti oldalai egyenlőek, így PQ=SR, azaz a+b2+h2=e+d2+f2.
Ebből (a-e)2=d+f-b-h. Ha ae lenne, akkor (a-e)-vel osztva azt kapnánk, hogy 2 racionális. Tehát e=a. Hasonló módon megmutathatjuk, hogy b=f és c=g.
Ebből már következik, hogy a nyolcszög középpontosan szimmetrikus, hiszen a szemközti oldalpárok paralelogrammákat feszítenek ki, így a rájuk illeszkedő szemközti csúcspárokat összekötő átlók felezik egymást. Ebből következik, hogy az összes szemközti csúcspárhoz tartozó átló felezőpontja egybeesik, tehát ez a pont szimmetria középpont.
 

 Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn. III. o. t.)