Feladat: F.2948 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Arató Gabriella ,  Csergőffy Tibor ,  Csörnyei Marianna ,  Dienes Péter ,  Dőtsch András ,  Futó Gábor ,  Gyarmati Katalin ,  Horváth Gábor ,  Imreh Csanád ,  K. L. ,  Kis Gábor ,  Maróti Attila ,  Megyesi Zoltán ,  Pete Gábor ,  Szeredi Tibor ,  Tichler Krisztián 
Füzet: 1993/december, 504 - 505. oldal  PDF file
Témakör(ök): Ceva-tétel, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/február: F.2948

Az ABC háromszög M belső pontjára az AM és BC, a BM és CA, valamint a CM és AB egyenesek hajlásszöge megegyezik. Bizonyítsuk be, hogy M a háromszög magasságpontja.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az AM és BC egyenesek metszéspontja P, és hasonlóan értelmezzük az ábrák Q és R pontjait.

 
 

1. ábra
 

A feladat szövegében szereplő hajlásszögeket φ-vel jelöljük (φ90). Könnyen látható, hogy a feltételnek kétféle ábra felelhet meg. Ha φ=90 , akkor készen vagyunk. Tegyük fel ezután, hogy az 1.ábra szerinti esetben φ<90. Mivel φ külső szöge az AQB,BRC,CPA háromszögeknek, ezért α,β,γ<φ<90. Mindez azt jelenti, hogy az A,B,C csúcsokból induló magasságok rendre az ABP,BCQ, illetve CAR háromszögek belsejében haladnak. Ekkor azonban az A-ból, illetve B-ből kiinduló magasságok a BMP háromszög belsejében metszik egymást. Ezért, mivel a harmadik magasság a CAR háromszög belsejében halad, a háromszög három magasságvonala nem mehet át egy ponton. Ez ellentmondás, tehát M a háromszög magasságpontja.
 
 

2. ábra
 

Tegyük fel ezután, hogy a 2. ábra szerinti esetben φ90. Az A-ból, B-ből és C-ből induló magasságvonalak talppontját A1-gyel, B1-gyel és C1-gyel, a háromszög oldalait pedig a szokásos módon a,b,c-vel jelölve:

BP=BA1+A1P=ccosβ+csinβ  ctgφ,PC=A1C-A1P=bcosγ-bsinγ  ctgφ,CQ=CB1+B1Q=acosγ+asinγ  ctgφ,QA=B1A-B1Q=ccosα-csinα  ctgφ,AR=AC1-RC1=bcosα-bsinα  ctgφ,RB=C1B+RC1=acosβ+asinβ  ctgφ.


Ceva tétele szerint
BPCQAR=PCQARB,
azaz
c(cosβ+sinβ  ctgφ)a(cosγ+sinγ  ctgφ)b(cosα-sinα  ctgφ)==b(cosγ-sinγ  ctgφ)c(cosα-sinα  ctgφ)a(cosβ+sinβ  ctgφ).


Egyszerűsítés után ebből
cosγ+sinγ  ctgφ=cosγ-sinγ  ctgφ,
tehát φ=90.
 

 Kassai Lóránt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn. IV. o. t.) dolgozata alapján