Feladat: F.2947 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Dőtsch András ,  K. L. ,  Tichler Krisztián 
Füzet: 1993/december, 503 - 504. oldal  PDF file
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/február: F.2947

Az r sugarú kör a többi érintkező kört az ábra szerint érinti. Mekkora a legkisebb kör sugara?
 
 


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk a 2. ábra jelöléseit. Legyen a B középpontú k1 kör sugara r1.

 
 

1. ábra
 

 
 

2. ábra
 

Az érintkezés miattA1B=r2+r1, és OB=r-r1. Ezért a Pitagorasz tétel szerint (r2)2+(r-r1)2=(r2+r1)2, és ebből r1=r3. Egészítsük ki a BOA1 derékszögű háromszöget téglalappá, legyen a negyedik csúcs P. Az ábráról láthatjuk, hogy a téglalap oldalai OB=r-r1=23r és OA1=r2. A P pont távolsága a B középpontú körtől PB-r1=OA1-r1=r2-r3=r6, az A1 középpontú körtől PA1-r2=OB-r2=23r-r2=r6, végül P távolságra az O középpontú körtől r-OP=r-(23)2+(r2)2=r-56r=r6. Tehát a P pont mindhárom körtől r6 távolságra van, és így a P köré rajzolt r6 sugarú kör a k,k0 és k1 körök mindegyikét érinti.
 

Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.)

 

Megjegyzések:
1. Több megoldónk a k1 kör sugarának kiszámítása után a feladat megoldását koordináta-geometriai módszerekkel folytatta, pl. így: A legkisebb kör középpontjának koordinátái (x;y), sugara r1. A három érintendő kör középpontjának és (x;y)-nak a távolságát fölírva háromismeretlenes egyenletrendszert kapunk, amelyből r1 meghatározható.
 

2. Jelöljük a P középpontú kört k2-vel. Legyen továbbá k3 a k kört belülről, a k0 és k2 kört kívülről érintő kör. Hasonlóan értelmezzük a k4,k5,... köröket. Dőtsch András a feladatot általánosítva azt bizonyította, hogy a kn kör rn sugara:
rn=rn2+2;(n=0,1,2,...).
 

3. Ha a kn kör középpontja Pn, akkor az előbbi eredmény szerint
OPn+A1Pn=r-rn2+2+r2+rn2+2=32r. Ez azt jelenti, hogy a Pn pontok, közöttük P és B is, arra az ellipszisre illeszkednek, amelynek fókuszai O és A1, nagytengelyének hossza pedig 32r.