Kezdőlap


Feladat:	F.2947	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Dőtsch András , K. L. , Tichler Krisztián
Füzet:	1993/december, 503 - 504. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/február: F.2947

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk a 2. ábra jelöléseit. Legyen a $B$ középpontú $k_{1}$ kör sugara $r_{1}$ .

1. ábra

2. ábra

Az érintkezés miatt

A_{1} B = \frac{r}{2} + r_{1}

, és

O B = r - r_{1}

. Ezért a Pitagorasz tétel szerint

{(\frac{r}{2})}^{2} + {(r - r_{1})}^{2} = {(\frac{r}{2} + r_{1})}^{2}

, és ebből

r_{1} = \frac{r}{3} .

Egészítsük ki a

B O A_{1}

derékszögű háromszöget téglalappá, legyen a negyedik csúcs

P

. Az ábráról láthatjuk, hogy a téglalap oldalai

O B = r - r_{1} = \frac{2}{3} r

és

O A_{1} = \frac{r}{2} .

P

pont távolsága a

B

középpontú körtől

P B - r_{1} = O A_{1} - r_{1} = \frac{r}{2} - \frac{r}{3} = \frac{r}{6},

A_{1}

középpontú körtől

P A_{1} - \frac{r}{2} = O B - \frac{r}{2} = \frac{2}{3} r - \frac{r}{2} = \frac{r}{6},

végül

P

távolságra az

O

középpontú körtől

r - O P = r - \sqrt[]{{(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{r}{2})}^{2}} = r - \frac{5}{6} r = \frac{r}{6} .

Tehát a

P

pont mindhárom körtől

\frac{r}{6}

távolságra van, és így a

P

köré rajzolt

\frac{r}{6}

sugarú kör a

k, k_{0}

és

k_{1}

körök mindegyikét érinti.

Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések:
1. Több megoldónk a

k_{1}

kör sugarának kiszámítása után a feladat megoldását koordináta-geometriai módszerekkel folytatta, pl. így: A legkisebb kör középpontjának koordinátái

(x; y)

, sugara

r_{1}

. A három érintendő kör középpontjának és

(x; y)

-nak a távolságát fölírva háromismeretlenes egyenletrendszert kapunk, amelyből

r_{1}

meghatározható.

2. Jelöljük a

P

középpontú kört

k_{2}

-vel. Legyen továbbá

k_{3}

k

kört belülről, a

k_{0}

és

k_{2}

kört kívülről érintő kör. Hasonlóan értelmezzük a

k_{4}, k_{5}, ...

köröket. Dőtsch András a feladatot általánosítva azt bizonyította, hogy a

k_{n}

kör

r_{n}

sugara:

r_{n} = \frac{r}{n^{2} + 2}; (n = 0,1,2, ...) .

3. Ha a

k_{n}

kör középpontja

P_{n}

, akkor az előbbi eredmény szerint

O P_{n} + A_{1} P_{n} = r - \frac{r}{n^{2} + 2} + \frac{r}{2} + \frac{r}{n^{2} + 2} = \frac{3}{2} r .

Ez azt jelenti, hogy a

P_{n}

pontok, közöttük

P

és

B

is, arra az ellipszisre illeszkednek, amelynek fókuszai

O

és

A_{1}

, nagytengelyének hossza pedig

\frac{3}{2} r .