Feladat: F.2933 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Arató Gabriella ,  Bajszi István ,  Bezdán Anikó ,  Csergőffy Tibor ,  Csörnyei Marianna ,  Dávid Tamás ,  Dienes Péter ,  Diószeghy Zoltán ,  Dőtsch András ,  Erdélyi Máté ,  Ferencz Viktória ,  Gabányi Balázs ,  György András ,  Horváth Gábor ,  Hüber Erik ,  Imreh Csanád ,  K. L. ,  Kálmán Tamás ,  Király Tamás ,  Kovács Gergely ,  Kovács Szabolcs ,  Kucsera Henrik ,  Markót Mihály ,  Maróti Attila ,  Megyesi Zoltán ,  Mile István ,  Molnár László ,  Németh Ákos ,  Pete Gábor ,  Réti Géza ,  Szabó László ,  Vörös Zoltán ,  Waldhauser Tamás ,  Zsenei András 
Füzet: 1993/május, 206 - 209. oldal  PDF file
Témakör(ök): Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/december: F.2933

Egy harmadfokú egyenletnek három valós gyöke van. A gyökök szorzata 2-vel nagyobb az összegüknél, négyzetösszegük 10, köbösszegük 6.
Melyik ez az egyenlet?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az egyenlet x3+ax2+bx+c=0, a gyökök legyenek x1,x2,x3. A Viéte-formulák (a gyökök és együtthatók közötti összefüggések) szerint

a=-(x1+x2+x3);b=x1x2+x1x3+x2x3;c=-x1x2x3.
Könnyen ellenőrizhető, hogy ezek alapján
x12+x22+x32=a2-2b
és
x13+x23+x33=-a3+3ab-3c.
A feladatban szereplő információk tehát a, b, c segítségével felírva:
1-c=a+2,(1)a2-2b=10,1-a3+3ab-3c=6.
Az első egyenletből c=a-2; a másodikból b=a22-5. Ezeket helyettesítsük be a harmadik egyenletbe:
-a3+3a(a22-5)-3(a-2)=6.
Rendezve:
-2a3+3a(a2-10)-6(a-2)=12;a3-36a=0;a(a-6)(a+6)=0.


Ennek az egyenletnek három megoldása van: a1=0,a2=6,a3=-6. Az ezekhez tartozó b és c értékek a b=a22-5 és c=a-2 egyenletek alapján:
b1=-5,b2=13,b3=13;c1=-2,c2=4,c3=-8.
Erre a három számhármasra az (1) egyenletrendszer teljesül, azt viszont meg kell vizsgálnunk, hogy a megfelelő egyenleteknek valóban három valós gyöke van-e. A három egyenlet:
(2)x3-5x-2=0;(3)x3+6x2+13x+4=0;(4)x3+6x2+13x-8=0.

Ismeretes, hogy az y3+py+q=0 egyenlet gyökeinek száma az egyenlet diszkriminánsának, (p3)3+(q2)2-nek előjeléből olvasható ki:
Ha a diszkrimináns pozitív, akkor egyetlen, egyszeres valós gyök van. Ha negatív, akkor három különböző valós gyöke van az egyenletnek. Ha a diszkrimináns 0 és p, q valamelyike nem 0, akkor egy kétszeres és egy egyszeres valós gyöke van az egyenletnek. (Ha p=q=0, akkor az y=0 háromszoros gyök.)
A (2) egyenlet diszkriminánsa (-53)3+(-22)2 negatív, tehát 3 különböző valós gyök van. A (3)és(4) egyenlet bal oldalát alakítsuk teljes köbbé, hogy a diszkriminánst ki tudjuk számítani:
(3')(x+2)3+(x+2)-6=0;(4')(x-2)3+(x-2)+2=0.

Ezek diszkriminánsa (13)3+(-62)2, illetve (13)3+(22)2; mindkettő pozitív. Ezeknek az egyenleteknek tehát csak egy gyöke van, így nem megoldásai a feladatnak.
A keresett egyenlet tehát:
x3-5x-2=0.

Megjegyzés. Azt hogy a (3) és (4) egyenleteknek csak egy gyöke valós, többen úgy próbálták bebizonyítani, hogy megmutatták: a baloldalon álló polinom deriváltja mindenhol pozitív; ebből következik, hogy a baloldal szigorúan monoton nő és nem lehet két különböző helyen 0.
Ez a megoldás ebben a formában hiányos, mert nem zárja ki a többszörös gyök lehetőségét. (A többszörös gyököt nem nehéz kizárni; pl. ahol többszörös gyök van, ott a derivált is 0, a mi esetünkben viszont pozitív.)
Ezek a dolgozatok 4 pontot kaptak.
 

II. megoldás. Legyen a keresett egyenlet ismét x3+ax2+bx+c=0, a gyökök x1, x2, x3. A feladat szövege szerint
 


(5)x1x2x3=x1+x2+x3+2;(6)x12+x22+x32=10;(7)x13+x23+x33=6.

Vonjuk ki (7)-ből (5)3-szorosát és rendezzük át a következőképpen, felhasználva az
u3+v3+w3-3uvw=(u+v+w)(u2-uv+v2-vw+w2-wu)
azonosságot:
 


(8)x13+x23+x33-3x1x2x3=-3(x1+x2+x3),8(x1+x2+x3)(x12-x1x2+x22-x2x3+x32-x3x1+3)=0.
A második tényező biztosan nem 0, mert
x12-x1x2+x22-x2x3+x32-x3x1+3==(x1-x2)22+(x2-x3)22+(x3-x1)22+33.



Az egyenlet ezért csak úgy teljesülhet, ha x1+x2+x3=0. Ekkor
a=-(x1+x2+x3)=0,c=-x1x2x3=-(x1+x2+x3+2)=-2ésb=x1x2+x1x3+x2x3=(x1+x2+x3)2-(x12+x22+x32)2=02-102=-5.

A keresett egyenlet tehát csak x3-5x-2=0 lehet.
Az, hogy ennek valóban három gyöke van, az I. megoldásban leírt módon bizonyítható.
Az (5) és a (6) egyenlet b és c választása alapján teljesül, a harmadik egyenlet pedig azért áll fenn, mert a választása miatt a (8) egyenlet teljesül, (7)-et pedig úgy kapjuk, hogy (8)-hoz hozzáadjuk (5)3-szorosát.
A kapott egyenlet tehát valóban megoldása a feladatnak.