Kezdőlap


Feladat:	F.2933	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Arató Gabriella , Bajszi István , Bezdán Anikó , Csergőffy Tibor , Csörnyei Marianna , Dávid Tamás , Dienes Péter , Diószeghy Zoltán , Dőtsch András , Erdélyi Máté , Ferencz Viktória , Gabányi Balázs , György András , Horváth Gábor , Hüber Erik , Imreh Csanád , K. L. , Kálmán Tamás , Király Tamás , Kovács Gergely , Kovács Szabolcs , Kucsera Henrik , Markót Mihály , Maróti Attila , Megyesi Zoltán , Mile István , Molnár László , Németh Ákos , Pete Gábor , Réti Géza , Szabó László , Vörös Zoltán , Waldhauser Tamás , Zsenei András
Füzet:	1993/május, 206 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/december: F.2933

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az egyenlet $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ , a gyökök legyenek $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ . A Viéte-formulák (a gyökök és együtthatók közötti összefüggések) szerint

\begin{matrix} a = - (x_{1} + x_{2} + x_{3}); \\ b = x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}; \\ c = - x_{1} x_{2} x_{3} . \end{matrix}

Könnyen ellenőrizhető, hogy ezek alapján

\begin{matrix} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = a^{2} - 2 b \end{matrix}

és

\begin{matrix} x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = - a^{3} + 3 a b - 3 c . \end{matrix}

A feladatban szereplő információk tehát

a

b

c

segítségével felírva:

\begin{matrix} - c & = a + 2, \\ (1) & a^{2} - 2 b & = 10, \\ - a^{3} + 3 a b - 3 c & = 6. \end{matrix}

Az első egyenletből

c = a - 2

; a másodikból

b = \frac{a^{2}}{2} - 5

. Ezeket helyettesítsük be a harmadik egyenletbe:

\begin{matrix} - a^{3} + 3 a (\frac{a^{2}}{2} - 5) - 3 (a - 2) = 6. \end{matrix}

Rendezve:

\begin{matrix} - 2 a^{3} + 3 a (a^{2} - 10) - 6 (a - 2) = 12; \\ a^{3} - 36 a = 0; \\ a (a - 6) (a + 6) = 0. \end{matrix}

Ennek az egyenletnek három megoldása van:

a_{1} = 0, a_{2} = 6, a_{3} = - 6

. Az ezekhez tartozó

b

és

c

értékek a

b = \frac{a^{2}}{2} - 5

és

c = a - 2

egyenletek alapján:

\begin{matrix} b_{1} & = - 5, & b_{2} = 13, & b_{3} = 13; \\ c_{1} & = - 2, & c_{2} = 4, & c_{3} = - 8. \end{matrix}

Erre a három számhármasra az

(1)

egyenletrendszer teljesül, azt viszont meg kell vizsgálnunk, hogy a megfelelő egyenleteknek valóban három valós gyöke van-e. A három egyenlet:

\begin{matrix} (2) & x^{3} - 5 x - 2 & = 0; \\ (3) & x^{3} + 6 x^{2} + 13 x + 4 & = 0; \\ (4) & x^{3} + 6 x^{2} + 13 x - 8 & = 0. \end{matrix}

Ismeretes, hogy az

y^{3} + p y + q = 0

egyenlet gyökeinek száma az egyenlet diszkriminánsának,

{(\frac{p}{3})}^{3} + {(\frac{q}{2})}^{2}

-nek előjeléből olvasható ki:
Ha a diszkrimináns pozitív, akkor egyetlen, egyszeres valós gyök van. Ha negatív, akkor három különböző valós gyöke van az egyenletnek. Ha a diszkrimináns

0

és

p

q

valamelyike nem

0

, akkor egy kétszeres és egy egyszeres valós gyöke van az egyenletnek. (Ha

p = q = 0

, akkor az

y = 0

háromszoros gyök.)
A

(2)

egyenlet diszkriminánsa

{(\frac{- 5}{3})}^{3} + {(\frac{- 2}{2})}^{2}

negatív, tehát

3

különböző valós gyök van. A

(3) és (4)

egyenlet bal oldalát alakítsuk teljes köbbé, hogy a diszkriminánst ki tudjuk számítani:

\begin{matrix} (3') & {(x + 2)}^{3} + (x + 2) - 6 & = 0; \\ (4') & {(x - 2)}^{3} + (x - 2) + 2 & = 0. \end{matrix}

Ezek diszkriminánsa

{(\frac{1}{3})}^{3} + {(\frac{- 6}{2})}^{2},

illetve

{(\frac{1}{3})}^{3} + {(\frac{2}{2})}^{2}

; mindkettő pozitív. Ezeknek az egyenleteknek tehát csak egy gyöke van, így nem megoldásai a feladatnak.
A keresett egyenlet tehát:

\begin{matrix} x^{3} - 5 x - 2 = 0. \end{matrix}

Megjegyzés. Azt hogy a

(3)

és

(4)

egyenleteknek csak egy gyöke valós, többen úgy próbálták bebizonyítani, hogy megmutatták: a baloldalon álló polinom deriváltja mindenhol pozitív; ebből következik, hogy a baloldal szigorúan monoton nő és nem lehet két különböző helyen

0

.
Ez a megoldás ebben a formában hiányos, mert nem zárja ki a többszörös gyök lehetőségét. (A többszörös gyököt nem nehéz kizárni; pl. ahol többszörös gyök van, ott a derivált is

0

, a mi esetünkben viszont pozitív.)
Ezek a dolgozatok

4

pontot kaptak.

II. megoldás. Legyen a keresett egyenlet ismét

x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0

, a gyökök

x_{1}

x_{2}

x_{3}

. A feladat szövege szerint

\begin{matrix} (5) & x_{1} x_{2} x_{3} & = x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2; \\ (6) & x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} & = 10; \\ (7) & x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} & = 6. \end{matrix}

Vonjuk ki

(7)

-ből

(5) 3

-szorosát és rendezzük át a következőképpen, felhasználva az

\begin{matrix} u^{3} + v^{3} + w^{3} - 3 u v w = (u + v + w) (u^{2} - u v + v^{2} - v w + w^{2} - w u) \end{matrix}

azonosságot:

\begin{matrix} (8) x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} - 3 x_{1} x_{2} x_{3} = - 3 (x_{1} + x_{2} + x_{3}), \\ (x_{1} + x_{2} + x_{3}) (x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} - x_{2} x_{3} + x_{3}^{2} - x_{3} x_{1} + 3) = 0. \end{matrix}

A második tényező biztosan nem

0

, mert

\begin{matrix} x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} - x_{2} x_{3} + x_{3}^{2} - x_{3} x_{1} + 3 = \\ = \frac{{(x_{1} - x_{2})}^{2}}{2} + \frac{{(x_{2} - x_{3})}^{2}}{2} + \frac{{(x_{3} - x_{1})}^{2}}{2} + 3 ⩾ 3. \end{matrix}

Az egyenlet ezért csak úgy teljesülhet, ha

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0

. Ekkor

\begin{matrix} a & = - (x_{1} + x_{2} + x_{3}) = 0, \\ c & = - x_{1} x_{2} x_{3} = - (x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2) = - 2 és \\ b & = x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{{(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2} - (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2})}{2} = \frac{0^{2} - 10}{2} = - 5. \end{matrix}

A keresett egyenlet tehát csak

x^{3} - 5 x - 2 = 0

lehet.
Az, hogy ennek valóban három gyöke van, az I. megoldásban leírt módon bizonyítható.
Az

(5)

és a

(6)

egyenlet

b

és

c

választása alapján teljesül, a harmadik egyenlet pedig azért áll fenn, mert

a

választása miatt a

(8)

egyenlet teljesül,

(7)

-et pedig úgy kapjuk, hogy

(8)

-hoz hozzáadjuk

(5) 3

-szorosát.
A kapott egyenlet tehát valóban megoldása a feladatnak.