|
Feladat: |
F.2933 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Arató Gabriella , Bajszi István , Bezdán Anikó , Csergőffy Tibor , Csörnyei Marianna , Dávid Tamás , Dienes Péter , Diószeghy Zoltán , Dőtsch András , Erdélyi Máté , Ferencz Viktória , Gabányi Balázs , György András , Horváth Gábor , Hüber Erik , Imreh Csanád , K. L. , Kálmán Tamás , Király Tamás , Kovács Gergely , Kovács Szabolcs , Kucsera Henrik , Markót Mihály , Maróti Attila , Megyesi Zoltán , Mile István , Molnár László , Németh Ákos , Pete Gábor , Réti Géza , Szabó László , Vörös Zoltán , Waldhauser Tamás , Zsenei András |
Füzet: |
1993/május,
206 - 209. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1992/december: F.2933 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen az egyenlet , a gyökök legyenek . A Viéte-formulák (a gyökök és együtthatók közötti összefüggések) szerint
Könnyen ellenőrizhető, hogy ezek alapján és A feladatban szereplő információk tehát , , segítségével felírva:
Az első egyenletből ; a másodikból . Ezeket helyettesítsük be a harmadik egyenletbe: Rendezve:
Ennek az egyenletnek három megoldása van: . Az ezekhez tartozó és értékek a és egyenletek alapján:
Erre a három számhármasra az egyenletrendszer teljesül, azt viszont meg kell vizsgálnunk, hogy a megfelelő egyenleteknek valóban három valós gyöke van-e. A három egyenlet:
Ismeretes, hogy az egyenlet gyökeinek száma az egyenlet diszkriminánsának, -nek előjeléből olvasható ki: Ha a diszkrimináns pozitív, akkor egyetlen, egyszeres valós gyök van. Ha negatív, akkor három különböző valós gyöke van az egyenletnek. Ha a diszkrimináns és , valamelyike nem , akkor egy kétszeres és egy egyszeres valós gyöke van az egyenletnek. (Ha , akkor az háromszoros gyök.) A egyenlet diszkriminánsa negatív, tehát különböző valós gyök van. A egyenlet bal oldalát alakítsuk teljes köbbé, hogy a diszkriminánst ki tudjuk számítani:
Ezek diszkriminánsa illetve ; mindkettő pozitív. Ezeknek az egyenleteknek tehát csak egy gyöke van, így nem megoldásai a feladatnak. A keresett egyenlet tehát: Megjegyzés. Azt hogy a és egyenleteknek csak egy gyöke valós, többen úgy próbálták bebizonyítani, hogy megmutatták: a baloldalon álló polinom deriváltja mindenhol pozitív; ebből következik, hogy a baloldal szigorúan monoton nő és nem lehet két különböző helyen . Ez a megoldás ebben a formában hiányos, mert nem zárja ki a többszörös gyök lehetőségét. (A többszörös gyököt nem nehéz kizárni; pl. ahol többszörös gyök van, ott a derivált is , a mi esetünkben viszont pozitív.) Ezek a dolgozatok pontot kaptak.
II. megoldás. Legyen a keresett egyenlet ismét , a gyökök , , . A feladat szövege szerint
Vonjuk ki -ből -szorosát és rendezzük át a következőképpen, felhasználva az | | azonosságot:
A második tényező biztosan nem , mert
Az egyenlet ezért csak úgy teljesülhet, ha . Ekkor
A keresett egyenlet tehát csak lehet. Az, hogy ennek valóban három gyöke van, az I. megoldásban leírt módon bizonyítható. Az és a egyenlet és választása alapján teljesül, a harmadik egyenlet pedig azért áll fenn, mert választása miatt a egyenlet teljesül, -et pedig úgy kapjuk, hogy -hoz hozzáadjuk -szorosát. A kapott egyenlet tehát valóban megoldása a feladatnak. |
|