Feladat: F.2930 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csergőffy Tibor ,  Csermely Zoltán ,  Csikai Szabolcs ,  Csörnyei Marianna ,  Dienes Péter ,  Diószeghy Zoltán ,  Dőtsch András ,  Futó Gábor ,  Horváth Gábor ,  Imreh Csanád ,  K. L. ,  Kálmán Tamás ,  Kórász Árpád ,  Markót Mihály ,  Maróti Attila ,  Marx Gábor ,  Matuszka Kristóf ,  Megyesi Zoltán ,  Németh Ákos ,  Pete Gábor ,  Rákóczi Bálint ,  Réti Géza ,  Róka Dániel ,  Szeredi Tibor ,  Szőllősi Attila ,  Tichler Krisztián ,  Tóth Zoltán ,  Zsíros Ákos 
Füzet: 1993/április, 163 - 165. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Szögfelező egyenes, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/november: F.2930

Tekintsük egy ABC háromszög azon belső pontjait, amelyeknek az oldalaktól mért távolságaiból háromszög szerkeszthető. A háromszög területének hányadrészét töltik ki ezek a pontok?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a háromszög oldalai a,b,c, egy megfelelő belső pont P, ennek az oldalaktól való távolságai da,db,dc (az oldalaktól vett távolságot az oldalegyenesektől való távolságként tekintjük). A keresett P pontok esetén da,db,dc-re teljesülniük kell a háromszög-egyenlőtlenségeknek. Messék a háromszög belső szögfelezői az oldalakat az A',B' és C' pontokban az ábra szerint.

 
 


Először megmutatjuk, hogy pl. a B'C' szakasz tetszőleges Q pontjának az oldalegyenesektől való x,y,z távolságaira y+z=x. Tekintve, hogy C' a C-ből induló szögfelező egy pontja, C'K=C'K'=k, és így a C'B'K' és QB'Y hasonló háromszögekből
QB'B'C'=yk,  amiből  y=QB'B'C'k.(1)
Hasonlóan kapjuk, hogy
z=QC'B'C'h.(2)
A C'QL és C'B'M hasonló háromszögekből
QC'x-k=QB'h-x.(3)
(3)-ból x-et kifejezve: x=QB'B'C'k+QC'B'C'h. Ezért (1) és (2) alapján x=y+z, amint azt állítottuk.
Tekintsük ezután az A középpontú középpontos hasonlóságot. Ha ennek aránya 1-nél nagyobb, és az előbbi Q pont képe P, akkor a nagyításban az előbbi y és z szakasz növekszik, x pedig csökken, ezért a P pontra teljesülni fog a da<db+dc egyenlőtlenség. Hasonlóan láthatjuk be, hogy A'B' vagy A'C' bármely pontját C-ből ill. B-ből 1-nél nagyobb arányú középpontos hasonlósággal leképezve a képpontra, teljesülni fognak a dc<da+db, ill. db<da+dc egyenlőtlenségek.
Mindhárom egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül, ha a P pont az A'B'C' háromszög belső pontja. A keresett P pontok halmaza tehát az A'B'C' háromszög belseje.
Hátra van még annak meghatározása, hogy az A'B'C' háromszög területe, T(A'B'C') hányadrésze az ABC háromszög területének, T(ABC)-nek. Látható, hogy
T(A'B'C')=T(ABC)-T(AB'C')-T(CA'B')-T(BC'A'),
amiből
T(A'B'C')T(ABC)=1-T(AB'C')T(ABC)-T(CA'B')T(ABC)-T(BC'A')T(ABC).(4)
Számítsuk ki először T(AB'C')-t. A szögfelező osztási arányára vonatkozó tétel szerint AC'=bca+b,AB'=bca+c, ezért T(AB'C')=12b2c2(a+b)(a+c)sinα.
Így
T(AB'C')T(ABC)=12b2c2(a+b)(a+c)sinα12bcsinα=bc(a+b)(a+c).
Hasonlóan számíthatjuk ki a (4) jobb oldalán szereplő további arányokat. Ezért (4) így alakul:

 
T(A'B'C')T(ABC)=1-bc(a+b)(a+c)-ab(c+a)(c+b)-ac(b+a)(b+c)==2abc(a+b)(b+c)(c+a).
 

Megjegyzés: A feladat megoldásai megtalálhatók a Középiskolai Matematikai Versenyek 1985 -1987. c. könyv 153-159. oldalain.