Kezdőlap


Feladat:	F.2930	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csergőffy Tibor , Csermely Zoltán , Csikai Szabolcs , Csörnyei Marianna , Dienes Péter , Diószeghy Zoltán , Dőtsch András , Futó Gábor , Horváth Gábor , Imreh Csanád , K. L. , Kálmán Tamás , Kórász Árpád , Markót Mihály , Maróti Attila , Marx Gábor , Matuszka Kristóf , Megyesi Zoltán , Németh Ákos , Pete Gábor , Rákóczi Bálint , Réti Géza , Róka Dániel , Szeredi Tibor , Szőllősi Attila , Tichler Krisztián , Tóth Zoltán , Zsíros Ákos
Füzet:	1993/április, 163 - 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Szögfelező egyenes, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/november: F.2930

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a háromszög oldalai $a, b, c$ , egy megfelelő belső pont $P$ , ennek az oldalaktól való távolságai $d_{a}, d_{b}, d_{c}$ (az oldalaktól vett távolságot az oldalegyenesektől való távolságként tekintjük). A keresett $P$ pontok esetén $d_{a}, d_{b}, d_{c}$ -re teljesülniük kell a háromszög-egyenlőtlenségeknek. Messék a háromszög belső szögfelezői az oldalakat az $A^{'}, B^{'}$ és $C^{'}$ pontokban az ábra szerint.

Először megmutatjuk, hogy pl. a

B^{'} C^{'}

szakasz tetszőleges

Q

pontjának az oldalegyenesektől való

x, y, z

távolságaira

y + z = x

. Tekintve, hogy

C^{'}

C

-ből induló szögfelező egy pontja,

C^{'} K = C^{'} K^{'} = k

, és így a

C^{'} B^{'} K^{'}

és

Q B^{'} Y

hasonló háromszögekből

\begin{matrix} \frac{Q B^{'}}{B^{'} C^{'}} = \frac{y}{k}, amiből y = \frac{Q B^{'}}{B^{'} C^{'}} k . \end{matrix}

(1)

Hasonlóan kapjuk, hogy

\begin{matrix} z = \frac{Q C^{'}}{B^{'} C^{'}} h . \end{matrix}

(2)

C^{'} Q L

és

C^{'} B^{'} M

hasonló háromszögekből

\begin{matrix} \frac{Q C^{'}}{x - k} = \frac{Q B^{'}}{h - x} . \end{matrix}

(3)

(3)-ból

x

-et kifejezve:

x = \frac{Q B^{'}}{B^{'} C^{'}} k + \frac{Q C^{'}}{B^{'} C^{'}} h

. Ezért (1) és (2) alapján

x = y + z

, amint azt állítottuk.
Tekintsük ezután az

A

középpontú középpontos hasonlóságot. Ha ennek aránya

1

-nél nagyobb, és az előbbi

Q

pont képe

P

, akkor a nagyításban az előbbi

y

és

z

szakasz növekszik,

x

pedig csökken, ezért a

P

pontra teljesülni fog a

d_{a} < d_{b} + d_{c}

egyenlőtlenség. Hasonlóan láthatjuk be, hogy

A^{'} B^{'}

vagy

A^{'} C^{'}

bármely pontját

C

-ből ill.

B

-ből

1

-nél nagyobb arányú középpontos hasonlósággal leképezve a képpontra, teljesülni fognak a

d_{c} < d_{a} + d_{b}

, ill.

d_{b} < d_{a} + d_{c}

egyenlőtlenségek.
Mindhárom egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül, ha a

P

pont az

A^{'} B^{'} C^{'}

háromszög belső pontja. A keresett

P

pontok halmaza tehát az

A^{'} B^{'} C^{'}

háromszög belseje.
Hátra van még annak meghatározása, hogy az

A^{'} B^{'} C^{'}

háromszög területe,

T_{(A^{'} B^{'} C^{'})}

hányadrésze az

A B C

háromszög területének,

T_{(A B C)}

-nek. Látható, hogy

\begin{matrix} T_{(A^{'} B^{'} C^{'})} = T_{(A B C)} - T_{(A B^{'} C^{'})} - T_{(C A^{'} B^{'})} - T_{(B C^{'} A^{'})}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} \frac{T_{(A^{'} B^{'} C^{'})}}{T_{(A B C)}} = 1 - \frac{T_{(A B^{'} C^{'})}}{T_{(A B C)}} - \frac{T_{(C A^{'} B^{'})}}{T_{(A B C)}} - \frac{T_{(B C^{'} A^{'})}}{T_{(A B C)}} . \end{matrix}

(4)

Számítsuk ki először

T_{(A B^{'} C^{'})}

-t. A szögfelező osztási arányára vonatkozó tétel szerint

A C^{'} = \frac{b c}{a + b}, A B^{'} = \frac{b c}{a + c}

, ezért

T_{(A B^{'} C^{'})} = \frac{1}{2} \frac{b^{2} c^{2}}{(a + b) (a + c)} sin α

.
Így

\begin{matrix} \frac{T_{(A B' C')}}{T_{(A B C)}} = \frac{\frac{1}{2} \frac{b^{2} c^{2}}{(a + b) (a + c)} sin α}{\frac{1}{2} b c sin α} = \frac{b c}{(a + b) (a + c)} . \end{matrix}

Hasonlóan számíthatjuk ki a (4) jobb oldalán szereplő további arányokat. Ezért (4) így alakul:

\begin{matrix} \frac{T_{(A^{'} B^{'} C^{'})}}{T_{(A B C)}} = 1 - \frac{b c}{(a + b) (a + c)} - \frac{a b}{(c + a) (c + b)} - \frac{a c}{(b + a) (b + c)} = \\ = \frac{2 a b c}{(a + b) (b + c) (c + a)} . \end{matrix}

Megjegyzés: A feladat megoldásai megtalálhatók a Középiskolai Matematikai Versenyek 1985 -1987. c. könyv 153-159. oldalain.