|
Feladat: |
F.2930 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csergőffy Tibor , Csermely Zoltán , Csikai Szabolcs , Csörnyei Marianna , Dienes Péter , Diószeghy Zoltán , Dőtsch András , Futó Gábor , Horváth Gábor , Imreh Csanád , K. L. , Kálmán Tamás , Kórász Árpád , Markót Mihály , Maróti Attila , Marx Gábor , Matuszka Kristóf , Megyesi Zoltán , Németh Ákos , Pete Gábor , Rákóczi Bálint , Réti Géza , Róka Dániel , Szeredi Tibor , Szőllősi Attila , Tichler Krisztián , Tóth Zoltán , Zsíros Ákos |
Füzet: |
1993/április,
163 - 165. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Szögfelező egyenes, Terület, felszín, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1992/november: F.2930 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek a háromszög oldalai , egy megfelelő belső pont , ennek az oldalaktól való távolságai (az oldalaktól vett távolságot az oldalegyenesektől való távolságként tekintjük). A keresett pontok esetén -re teljesülniük kell a háromszög-egyenlőtlenségeknek. Messék a háromszög belső szögfelezői az oldalakat az és pontokban az ábra szerint.
Először megmutatjuk, hogy pl. a szakasz tetszőleges pontjának az oldalegyenesektől való távolságaira . Tekintve, hogy a -ből induló szögfelező egy pontja, , és így a és hasonló háromszögekből | | (1) | Hasonlóan kapjuk, hogy A és hasonló háromszögekből (3)-ból -et kifejezve: . Ezért (1) és (2) alapján , amint azt állítottuk. Tekintsük ezután az középpontú középpontos hasonlóságot. Ha ennek aránya -nél nagyobb, és az előbbi pont képe , akkor a nagyításban az előbbi és szakasz növekszik, pedig csökken, ezért a pontra teljesülni fog a egyenlőtlenség. Hasonlóan láthatjuk be, hogy vagy bármely pontját -ből ill. -ből -nél nagyobb arányú középpontos hasonlósággal leképezve a képpontra, teljesülni fognak a , ill. egyenlőtlenségek. Mindhárom egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül, ha a pont az háromszög belső pontja. A keresett pontok halmaza tehát az háromszög belseje. Hátra van még annak meghatározása, hogy az háromszög területe, hányadrésze az háromszög területének, -nek. Látható, hogy | | amiből | | (4) | Számítsuk ki először -t. A szögfelező osztási arányára vonatkozó tétel szerint , ezért . Így | | Hasonlóan számíthatjuk ki a (4) jobb oldalán szereplő további arányokat. Ezért (4) így alakul:
Megjegyzés: A feladat megoldásai megtalálhatók a Középiskolai Matematikai Versenyek 1985 -1987. c. könyv 153-159. oldalain. |
|