Feladat: F.2925 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Dienes Péter ,  Dőtsch András ,  K. L. ,  Maróti Attila ,  Matuszka Kristóf ,  Megyesi Zoltán ,  Pete Gábor ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1993/február, 68 - 69. oldal  PDF file
Témakör(ök): Terület, felszín, Térelemek és részeik, Tetraéderek, Paralelepipedon, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/október: F.2925

Bizonyítsuk be, hogy ha egy tetraéder lapjai egyenlő területűek, akkor egybevágók is.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

Először bebizonyítjuk, hogy a tetraéder köré írt paralelepipedon téglatest. Legyenek a tetraéder csúcsai A, B, C, D, a köré írt paralelepipedon további csúcsai pedig A', B', C', D'. Húzzunk a C és D pontokon át az A'B'-vel párhuzamos c és d egyeneseket. Ezektől az egyenesektől A' és B' egyenlő távolságra van, hiszen az A'CB'D négyszög paralelogramma. Ugyancsak egyenlő távolságra van e két egyenestől A és B, hiszen a DAB és CAB háromszögek D, illetve C-ből húzott magassága egyenlő. Ezért az ABB'A' négyszög síkja merőleges a c és d egyenesek síkjára, azaz a paralelepipedon A'CB'D lapjára. Ugyanígy belátható, hogy a CC'D'D négyszög síkja is merőleges az A'CB'D lapra. De akkor e két sík metszésvonala ‐ ábránkon ez az OO' egyenes ‐ is merőleges az A'CB'D lapra. A paralelepipedon tulajdonságaiból nyilvánvaló, hogy OO' párhuzamos AA'-vel, tehát ez az él is merőleges az említett lapra.
Hasonlóan belátható a paralelepipedon bármelyik éléről, hogy a paralelepipedon valamelyik (két) lapjára merőleges, ezért a paralelepipedon téglatest. Emiatt a beleírt tetraéder mindegyik lapjának oldalai a téglatest lapátlói, tehát a lapok egybevágók.