Feladat:	F.2925	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna ,  Dienes Péter ,  Dőtsch András ,  K. L. ,  Maróti Attila ,  Matuszka Kristóf ,  Megyesi Zoltán ,  Pete Gábor ,  Valkó Benedek
Füzet:	1993/február, 68 - 69. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Térelemek és részeik, Tetraéderek, Paralelepipedon, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/október: F.2925

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Először bebizonyítjuk, hogy a tetraéder köré írt paralelepipedon téglatest. Legyenek a tetraéder csúcsai $A$, $B$, $C$, $D$, a köré írt paralelepipedon további csúcsai pedig $A^{\text{'}}$, $B^{\text{'}}$, $C^{\text{'}}$, $D^{\text{'}}$. Húzzunk a $C$ és $D$ pontokon át az $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$-vel párhuzamos $c$ és $d$ egyeneseket. Ezektől az egyenesektől $A^{\text{'}}$ és $B^{\text{'}}$ egyenlő távolságra van, hiszen az $A^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}D$ négyszög paralelogramma. Ugyancsak egyenlő távolságra van e két egyenestől $A$ és $B$, hiszen a $DAB$ és $CAB$ háromszögek $D$, illetve $C$-ből húzott magassága egyenlő. Ezért az $AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ négyszög síkja merőleges a $c$ és $d$ egyenesek síkjára, azaz a paralelepipedon $A^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}D$ lapjára. Ugyanígy belátható, hogy a $C{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D$ négyszög síkja is merőleges az $A^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}D$ lapra. De akkor e két sík metszésvonala ‐ ábránkon ez az $O{O}^{\text{'}}$ egyenes ‐ is merőleges az $A^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}D$ lapra. A paralelepipedon tulajdonságaiból nyilvánvaló, hogy $O{O}^{\text{'}}$ párhuzamos $A{A}^{\text{'}}$-vel, tehát ez az él is merőleges az említett lapra. Hasonlóan belátható a paralelepipedon bármelyik éléről, hogy a paralelepipedon valamelyik (két) lapjára merőleges, ezért a paralelepipedon téglatest. Emiatt a beleírt tetraéder mindegyik lapjának oldalai a téglatest lapátlói, tehát a lapok egybevágók.