Feladat: F.2920 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Abért Krisztián ,  Dőtsch András ,  Égi József ,  Marx Gábor ,  Tichler Krisztián 
Füzet: 1993/március, 117 - 118. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometrikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/október: F.2920

Oldjuk meg a következő egyenletet:
cosx+3sinx=2.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Osszuk el az egyenletet 2-vel és írjunk 12 helyére sinπ6-ot, 32 helyére cosπ6-ot:

12cosx+32sinx=22,sinπ6cosx+cosπ6sinx=22.



A sin(a+b)=sinacosb+cosasinb azonosság alapján a bal oldalon sin(x+π6) áll, azaz
sin(x+π6)=22.

Ennek megoldásai: x+π6=π4+2kπ, azaz x=π12+2kπ és x+π6=3π4+2lπ, azaz x=7π12+2lπ, ahol k,l tetszőleges egész számok.
 
Megjegyzések. 1. Az egyenletet meg lehet oldani úgy is, hogy a bal oldalról az egyik tagot, pl. cosx-et kifejezzük, négyzetreemelünk és cos2x helyére (1-sin2x)-et írunk:
cosx=2-3sinx,cos2x=(2-3sinx)2,1-sin2x=2-26sinx+3sin2x.



Ezzel sinx-re másodfokú egyenletet kapunk, amit meg tudunk oldani.
Ennek a módszernek az a hátránya, hogy a négyzetre emelés során hamis gyökök is keletkezhetnek.
2. A megoldásban látotthoz hasonló módon meg lehet oldani minden
Asinx+Bcosx=C
alakú egyenletet, ahol természetesen A és B nem lehet egyszerre 0.
Az egyenletet először úgy próbáljuk elosztani egy számmal, hogy a bal oldalon szereplő két együttható valamilyen számnak a koszinusza és szinusza legyen. Ez pontosan akkor teljesül, ha a két együttható négyzetösszege 1.
Könnyű ellenőrizni, hogy ez A2+B2-tel való osztással elérhető:
AA2+B2sinx+BA2+B2cosx=CA2+B2.

Legyen α olyan szám, amelyre cosα=AA2+B2 és sinα=BA2+B2. Ekkor az egyenlet így alakul:
sin(x+α)=CA2+B2;
ennek megoldásai:
x=arcsinCA2+B2+2kπ-α
és
x=-arcsinCA2+B2+(2l+1)π-α,

ahol k,l tetszőleges egész számok.
Az egyenletnek pontosan akkor van megoldása, ha |CA2+B2|1, azaz C2A2+B2.