Kezdőlap


Feladat:	F.2920	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Abért Krisztián , Dőtsch András , Égi József , Marx Gábor , Tichler Krisztián
Füzet:	1993/március, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/október: F.2920

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Osszuk el az egyenletet $2$ -vel és írjunk $\frac{1}{2}$ helyére $sin \frac{π}{6}$ -ot, $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ helyére $cos \frac{π}{6}$ -ot:

\begin{matrix} \frac{1}{2} cos x + \frac{\sqrt[]{3}}{2} sin x = \frac{\sqrt[]{2}}{2}, \\ sin \frac{π}{6} cos x + cos \frac{π}{6} sin x = \frac{\sqrt[]{2}}{2} . \end{matrix}

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

azonosság alapján a bal oldalon

sin (x + \frac{π}{6})

áll, azaz

\begin{matrix} sin (x + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt[]{2}}{2} . \end{matrix}

Ennek megoldásai:

x + \frac{π}{6} = \frac{π}{4} + 2 k π,

azaz

x = \frac{π}{12} + 2 k π

és

x + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4} + 2 l π,

azaz

x = \frac{7 π}{12} + 2 l π,

ahol

k, l

tetszőleges egész számok.

Megjegyzések. 1. Az egyenletet meg lehet oldani úgy is, hogy a bal oldalról az egyik tagot, pl.

cos x

-et kifejezzük, négyzetreemelünk és

cos^{2} x

helyére

(1 - sin^{2} x)

-et írunk:

\begin{matrix} cos x = \sqrt[]{2} - \sqrt[]{3} sin x, \\ cos^{2} x = {(\sqrt[]{2} - \sqrt[]{3} sin x)}^{2}, \\ 1 - sin^{2} x = 2 - 2 \sqrt[]{6} sin x + 3 sin^{2} x . \end{matrix}

Ezzel

sin x

-re másodfokú egyenletet kapunk, amit meg tudunk oldani.
Ennek a módszernek az a hátránya, hogy a négyzetre emelés során hamis gyökök is keletkezhetnek.
2. A megoldásban látotthoz hasonló módon meg lehet oldani minden

\begin{matrix} A sin x + B cos x = C \end{matrix}

alakú egyenletet, ahol természetesen

A

és

B

nem lehet egyszerre

0

.
Az egyenletet először úgy próbáljuk elosztani egy számmal, hogy a bal oldalon szereplő két együttható valamilyen számnak a koszinusza és szinusza legyen. Ez pontosan akkor teljesül, ha a két együttható négyzetösszege

1

.
Könnyű ellenőrizni, hogy ez

\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}

-tel való osztással elérhető:

\begin{matrix} \frac{A}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}} sin x + \frac{B}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}} cos x = \frac{C}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}} . \end{matrix}

Legyen

α

olyan szám, amelyre

cos α = \frac{A}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}}

és

sin α = \frac{B}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}}

. Ekkor az egyenlet így alakul:

\begin{matrix} sin (x + α) = \frac{C}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}}; \end{matrix}

ennek megoldásai:

\begin{matrix} x = arcsin \frac{C}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}} + 2 k π - α \end{matrix}

és

\begin{matrix} x = - arcsin \frac{C}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}} + (2 l + 1) π - α, \end{matrix}

ahol

k, l

tetszőleges egész számok.
Az egyenletnek pontosan akkor van megoldása, ha

| \frac{C}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}} | ⩽ 1,

azaz

C^{2} ⩽ A^{2} + B^{2} .