Feladat: F.2918 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dienes Péter ,  Dőtsch András ,  Markót Mihály ,  Marx Gábor ,  Németh Ákos ,  Pete Gábor 
Füzet: 1993/február, 66 - 68. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Forgatva nyújtás, Komplex számok tulajdonságai, Párhuzamos szelők tétele, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/szeptember: F.2918

Az A1B1C1 és az A2B2C2 háromszögek hasonlóak és egyező körüljárásúak. A megfelelő csúcsaikat összekötő egyeneseken vegyünk fel olyan A, B, C pontokat, amelyekre
A1AAA2=B1BBB2=C1CCC2.
Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög hasonló a másik két háromszöghöz.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Toljuk el az ABC és az A2B2C2 háromszöget úgy, hogy A és A2 képe A1 legyen. Használjuk az ábra további jelöléseit. Az eltolás révén

A1A=C'CésA1A2=C2'C2.(1)

 
 

Feltételeinkből következik, hogy C1CC1C2=A1AA1A2, ezért (1) alapján
C1CC1C2=C'CC2'C.(2)
Az eltolások folytán a két ívvel jelölt szögek megegyeznek. Így a párhuzamos szelők tétele szerint a C1CC' és C1C2C2' háromszögek hasonlóak. Ezért a C1, C' és C2' pontok egy egyenesen vannak, és
C1C'C'C2'=C1CCC2.(3)

Ugyanígy megmutatható, hogy B1, B' és B2' is egy egyenesen van, és
B1B'B'B2'=B1BBB2=C1CCC2.(4)

Tekintsük most az A1 középpontú α szögű A1C1A1B1 arányú forgatva nyújtást. Ez a transzformáció a B1 pontot a C1-be, a B2' pontot a C2'-be viszi át. Mivel ez egy hasonlósági transzformáció, ezért a B1B2' szakasz B' osztópontját a C1C2' szakasz C' osztópontjába viszi át, hiszen (3) és (4) szerint a B' pont ugyanolyan arányban osztja az előbbi szakaszt, mint C' az utóbbit. Tehát B'A1C'=α, és A1C'A1B'=A1C1A1B1, ami azt jelenti, hogy A1B'C' háromszög hasonló az A1B1C1 háromszöghöz; de akkor ugyanez áll fenn a vele egybevágó ABC háromszögre is.
 

Megjegyzés. A bizonyítás a komplex számok segítségével is elvégezhető, amint azt ‐ többek között ‐ prof. Walter Janous innsbrucki olvasónk is megjegyezte. Tekintsük e célból a sík egy tetszőlegesen választott pontjából az Ai, Bi, Ci pontokba mutató ai, bi, ci vektorokat komplex számoknak. A feladat feltételei szerint (valamely z komplex számmal)
a1-b1a1-c1=a2-b2a2-c2=z.(5)
Az origóból az A, B, C pontokba mutató a, b, c vektorok:
a=ta1+(1-t)a2,b=tb1+(1-t)b2,c=tc1+(1-t)c2,


ahol t valós szám. Így (5) figyelembevételével
a-ba-c=t(a1-b1)+(1-t)(a2-b2)t(a1-c1)+(1-t)(a2-c2)==tz(a1-c1)+(1-t)z(a2-c2)t(a1-c1)+(1-t)(a2-c2)=z=ai-biai-ci,
ami éppen azt jelenti, hogy ABC hasonló az Ai, Bi, Ci háromszögekhez.