Feladat: F.2917 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Birszki Bálint ,  Csergőffy Tibor ,  Csermely Zoltán ,  Csikai Szabolcs ,  Csorba Péter ,  Csörnyei Marianna ,  Dienes Péter ,  Diószeghy Zoltán ,  Dombi Gergely ,  Dőtsch András ,  Futó Gábor ,  Gémes Tibor ,  György András ,  Hertz István ,  Kárpáti Attila ,  Koblinger Egmont ,  Kucsera Henrik ,  Lengyel Csaba ,  Maróti Gábor ,  Marx Gábor ,  Megyesi Zoltán ,  Németh Ákos ,  Nyúl László ,  Pajor Tibor ,  Peer Gábor László ,  Pete Gábor ,  Tóth Zoltán ,  Valkó Benedek ,  Waldhauser Tamás 
Füzet: 1993/február, 65 - 66. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Exponenciális függvények, Logaritmusos függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/szeptember: F.2917

Mekkora a távolság az xax és xlogax függvények (a>1) grafikonjának két egymáshoz legközelebbi pontja között?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két függvény egymás inverze, ezért grafikonjaik tükrösek az y=x egyenesre. Ha az xax függvénynek van pontja az y=x egyenesen, akkor az a pont az xlogax függvény grafikonjának is pontja, és ekkor a keresett távolság zérus. Vizsgáljuk ezért az f(x)=ax-x függvényt. Ha az xax függvény grafikonjának van közös pontja az y=x egyenessel, akkor f(x) értékkészletében nem pozitív számok is előfordulnak. Az f(x) függvény folytonos, és f'(x)=(ax-x)'=axlna-1 szigorúan monoton növekvő. Mivel axlna-1 pontosan akkor 0, ha x=logalogae, azért ezen a helyen f(x)-nek abszolút minimuma van. Itt a függvényérték:

alogalogae-logalogae=logae-logalogae=logaelogae.
Ez a függvényérték pontosan akkor nem pozitív, ha elogae1, azaz elna1, vagyis ae1e. Ebből láthatjuk, hogy a két függvény grafikonjának pontosan akkor nincs közös pontja, ha a>e1e.
A két grafikon egymáshoz legközelebb eső pontjai azok a pontok lesznek, amelyekhez tartozó érintők párhuzamosak az y=x egyenessel. Képezzük ezért az xax függvény differenciálhányadosát: (ax)'=axlna. Ha az érintési pont az (x0;y0) pont, akkor ax0lna=1, amiből x0=lnlnalna és y0=1lna. Mivel az xlogax függvény grafikonján az érintési pont az (x0;y0) pontnak az y=x egyenesre való tükörképe (y0;x0), a keresett távolság
d=(1lna+lnlnalna)2+(1lna+lnalnalna)2=21+lnlnalna.
Az elmondottakat összefoglalva, a két függvény grafikonjának legközelebbi pontjai között a távolság:
d={0,ha1<ae1e21+lnlnalna,haa>e1e.