Kezdőlap


Feladat:	F.2917	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Birszki Bálint , Csergőffy Tibor , Csermely Zoltán , Csikai Szabolcs , Csorba Péter , Csörnyei Marianna , Dienes Péter , Diószeghy Zoltán , Dombi Gergely , Dőtsch András , Futó Gábor , Gémes Tibor , György András , Hertz István , Kárpáti Attila , Koblinger Egmont , Kucsera Henrik , Lengyel Csaba , Maróti Gábor , Marx Gábor , Megyesi Zoltán , Németh Ákos , Nyúl László , Pajor Tibor , Peer Gábor László , Pete Gábor , Tóth Zoltán , Valkó Benedek , Waldhauser Tamás
Füzet:	1993/február, 65 - 66. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Exponenciális függvények, Logaritmusos függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/szeptember: F.2917

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két függvény egymás inverze, ezért grafikonjaik tükrösek az $y = x$ egyenesre. Ha az $x \mapsto a^{x}$ függvénynek van pontja az $y = x$ egyenesen, akkor az a pont az $x \mapsto log_{a} x$ függvény grafikonjának is pontja, és ekkor a keresett távolság zérus. Vizsgáljuk ezért az $f (x) = a^{x} - x$ függvényt. Ha az $x \mapsto a^{x}$ függvény grafikonjának van közös pontja az $y = x$ egyenessel, akkor $f (x)$ értékkészletében nem pozitív számok is előfordulnak. Az $f (x)$ függvény folytonos, és $f^{'} (x) = {(a^{x} - x)}^{'} = a^{x} \cdot ln a - 1$ szigorúan monoton növekvő. Mivel $a^{x} \cdot ln a - 1$ pontosan akkor $0$ , ha $x = log_{a} log_{a} e$ , azért ezen a helyen $f (x)$ -nek abszolút minimuma van. Itt a függvényérték:

\begin{matrix} a^{log_{a} log_{a} e} - log_{a} log_{a} e = log_{a} e - log_{a} log_{a} e = log_{a} \frac{e}{log_{a} e} . \end{matrix}

Ez a függvényérték pontosan akkor nem pozitív, ha

\frac{e}{log_{a} e} ⩽ 1

, azaz

e \cdot ln a ⩽ 1

, vagyis

a ⩽ e^{\frac{1}{e}}

. Ebből láthatjuk, hogy a két függvény grafikonjának pontosan akkor nincs közös pontja, ha

a > e^{\frac{1}{e}}

.
A két grafikon egymáshoz legközelebb eső pontjai azok a pontok lesznek, amelyekhez tartozó érintők párhuzamosak az

y = x

egyenessel. Képezzük ezért az

x \mapsto a^{x}

függvény differenciálhányadosát:

{(a^{x})}^{'} = a^{x} \cdot ln a

. Ha az érintési pont az

(x_{0}; y_{0})

pont, akkor

a^{x_{0}} \cdot ln a = 1

, amiből

x_{0} = \frac{ln ln a}{ln a}

és

y_{0} = \frac{1}{ln a}

. Mivel az

x \mapsto log_{a} x

függvény grafikonján az érintési pont az

(x_{0}; y_{0})

pontnak az

y = x

egyenesre való tükörképe

(y_{0}; x_{0})

, a keresett távolság

\begin{matrix} d = \sqrt[]{{(\frac{1}{ln a} + \frac{ln ln a}{ln a})}^{2} + {(\frac{1}{ln a} + \frac{ln a ln a}{ln a})}^{2}} = \sqrt[]{2} \cdot \frac{1 + ln ln a}{ln a} . \end{matrix}

Az elmondottakat összefoglalva, a két függvény grafikonjának legközelebbi pontjai között a távolság:

\begin{matrix} d = {\begin{matrix} 0, & ha 1 < a ⩽ e^{\frac{1}{e}} \\ \sqrt[]{2} \frac{1 + ln ln a}{ln a}, & ha a > e^{\frac{1}{e}} . \end{matrix} \end{matrix}