Feladat: F.2914 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Arató Gabriella ,  Csergőffy Tibor ,  Csermely Zoltán ,  Csörnyei Marianna ,  Dőtsch András ,  Fábián László ,  Foki Izabella ,  Futó Gábor ,  Gombos László ,  Horváth Gábor ,  Kárpáti Attila ,  Katz Sándor ,  Kis Gábor ,  Koós Attila ,  Kucsera Henrik ,  Marx Gábor ,  Megyesi Zoltán ,  Moson László ,  Pákozdi Tibor ,  Párniczky Benedek ,  Pete Gábor ,  Rákóczi Bálint ,  Róka Dániel 
Füzet: 1993/március, 114 - 116. oldal  PDF file
Témakör(ök): Racionális számok és tulajdonságaik, Trigonometrikus egyenletek, Differenciálszámítás, Trigonometrikus függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/szeptember: F.2914

Bizonyítsuk be, hogy az xsinx+sin2x függvény nem periodikus.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az állítást indirekt úton bizonyítjuk. Meghatározzuk a függvény gyökeit és megmutatjuk, hogy ezek nem lehetnek periodikus függvény gyökei.
Mivel a sina+sinb=2sina+b2cosa-b2 azonosság alapján

sinx+sin2x=2sin2+12xcos2-12x,
a függvény értéke pontosan akkor 0, ha 2+12x=kπ, azaz x=2kπ2+1, és 2-12x=(2l+1)π2, azaz x=(2l+1)π2-1, ahol k illetve l egész számok. A gyököket tehát  egy  2π2+1és egy 2π2-1 különbségű, mindkét irányban végtelen számtani sorozat tartalmazza.
Tegyük fel, hogy a függvény periodikus, és legyen a p pozitív szám egy periódus.
Először megjegyezzük, hogy egy periódusban mindkét számtani sorozatnak csak véges sok eleme van, ezért egy perióduson belül csak véges sok gyök van.
Rendeljük hozzá minden egyes gyökhöz azt a [0,p) intervallumbeli gyököt, amit úgy kapunk, hogy p valamilyen egész többszörösét adjuk hozzá (azaz az x0 gyökhöz az x0-[x0p]p számot, ami szintén gyök). Mivel 2kπ2+1 alakú gyökből végtelen sok van, kell köztük lenni kettőnek, amelyekhez ugyanazt rendeltük: 2k1π2+1 és 2k2π2+1, ahol k1 és k2 különböző egész számok. Az, hogy ugyanazt rendeltük hozzájuk, azt jelenti, hogy a különbségük p többszöröse:

2k1π2+1-2k2π2+1=2(k1-k2)π2+1=mp,(1)


ahol m egész szám , és m0. Hasonlóan gondolhatjuk meg, hogy a (2l+1)π2-1 alakú gyökök között is van kettő: (2l1+1)π2-1 és (2l2+1)π2-1, amelyek különbsége p többszöröse:
(2l1+1)π2-1-(2l2+1)π2-1=2(l1-l2)π2-1=np,(2)


ahol n egész szám.
Osszuk el (1)-et (2)-vel:
k1-k2l1-l22-12+1=mn,
vagy átrendezve:
k1-k2l1-l2nm=2+12-1=3+22.
Ez azonban ellentmondás, mert a bal oldalon racionális, a jobb oldalon pedig irracionális szám áll.
A függvény tehát nem periodikus.
 
II. megoldás. Tekintsük a függvény deriváltját:
(sinx+sin2x)'=cosx+2cos2x.

Ha a függvény periodikus lenne, akkor a deriváltja is periodikus lenne. Elég tehát azt igazolni, hogy a derivált nem periodikus.
A derivált értéke a 0-ban 1+2. Megmutatjuk, hogy ezt az értéket sehol máshol nem veszi fel; ebből azonnal következik, hogy nem periodikus.
Ahol a derivált értéke 1+2, ott szükséges, hogy cosx=1 és cos2x=1 legyen, másképp a függvényérték kisebb lenne. Ez pedig csak x=2kπ és 2x=2lπ esetén teljesül, ahol k és l egész számok. Ha k nem 0, akkor ebből 2=lk, ami ellentmond annak, hogy2 irracionális.
Ezzel az állítást igazoltuk.