Feladat: F.2909 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Álmos Attila ,  Csermely Zoltán ,  Csorba Péter ,  Csörnyei Marianna ,  Dőtsch András ,  Faragó Gergely ,  Futó Gábor ,  Győry Máté ,  Imreh Csanád ,  Kálmán Tamás ,  Kóczy László ,  Kőszegi Botond ,  Lente Gábor ,  Marx Gábor ,  Megyesi Zoltán ,  Németh Ákos ,  Párniczky Benedek ,  Pete Gábor ,  Réti Géza ,  Róka Dániel ,  Szeidl Ádám ,  Szőllősi Attila ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1992/november, 368 - 369. oldal  PDF file
Témakör(ök): Diofantikus egyenletek, Konstruktív megoldási módszer, Exponenciális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/május: F.2909

Bizonyítsuk be, hogy ha az a,b,c pozitív egészek és c relatív prím a-hoz és b-hez, akkor az
xa+yb=zc
egyenletnek van pozitív egészekből álló megoldása.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy létezik olyan megoldás, amelyben xa és yb ugyanaz a 2-hatvány. Ehhez a következő egyenletrendszert kell megoldanunk.

xa=2k,yb=2k,zc=2k+1,azazx=2ka,y=2kb,z=2k+1c.


Ha létezik ilyen k természetes szám, amelyre ka,kb és k+1c egyszerre egész, készen vagyunk.
Mivel c relatív prím a-hoz és b-hez, relatív prím ab-hez is. Ebből pedig következik, hogy léteznek olyan p,q pozitív egészek, amelyekre pc-qab=1. Legyen k=qab=pc-1; ekkor ka=qb,kb=qa és k+1c=p egyszerre pozitív egészek. Ezzel az állítást igazoltuk.
 

Szeidl Ádám (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.)

 

Megjegyzés. A megoldás kicsit általánosabban is megfogalmazható. Legyenek x0 és y0 pozitív egészek, és
x0a+y0b=z0.
Legyen k olyan pozitív egész, amelyre ka,kb és k+ac egészek. Az előbbi egyenlőséget z0k-val megszorozva:
x0az0k+y0bz0k=z0k+1,azaz(x0z0ka)a+(y0z0kb)b=(z0k+1c)c,


tehát x=x0z0ka,y=y0z0kb,z=z0k+1c pozitív egészekből álló megoldás (Szeidl Ádám megoldásában x0=y0=1 volt).