Kezdőlap


Feladat:	F.2909	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Álmos Attila , Csermely Zoltán , Csorba Péter , Csörnyei Marianna , Dőtsch András , Faragó Gergely , Futó Gábor , Győry Máté , Imreh Csanád , Kálmán Tamás , Kóczy László , Kőszegi Botond , Lente Gábor , Marx Gábor , Megyesi Zoltán , Németh Ákos , Párniczky Benedek , Pete Gábor , Réti Géza , Róka Dániel , Szeidl Ádám , Szőllősi Attila , Valkó Benedek
Füzet:	1992/november, 368 - 369. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Konstruktív megoldási módszer, Exponenciális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/május: F.2909

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy létezik olyan megoldás, amelyben $x^{a}$ és $y^{b}$ ugyanaz a $2$ -hatvány. Ehhez a következő egyenletrendszert kell megoldanunk.

\begin{matrix} x^{a} = 2^{k}, y^{b} = 2^{k}, z^{c} = 2^{k + 1}, azaz \\ x = 2^{\frac{k}{a}}, y = 2^{\frac{k}{b}}, z = 2^{\frac{k + 1}{c}} . \end{matrix}

Ha létezik ilyen

k

természetes szám, amelyre

\frac{k}{a}, \frac{k}{b}

és

\frac{k + 1}{c}

egyszerre egész, készen vagyunk.
Mivel

c

relatív prím

a

-hoz és

b

-hez, relatív prím

a b

-hez is. Ebből pedig következik, hogy léteznek olyan

p, q

pozitív egészek, amelyekre

p \cdot c - q \cdot a b = 1

. Legyen

k = q \cdot a b = p c - 1

; ekkor

\frac{k}{a} = q b, \frac{k}{b} = q a

és

\frac{k + 1}{c} = p

egyszerre pozitív egészek. Ezzel az állítást igazoltuk.

Szeidl Ádám (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. A megoldás kicsit általánosabban is megfogalmazható. Legyenek

x_{0}

és

y_{0}

pozitív egészek, és

\begin{matrix} x_{0}^{a} + y_{0}^{b} = z_{0} . \end{matrix}

Legyen

k

olyan pozitív egész, amelyre

\frac{k}{a}, \frac{k}{b}

és

\frac{k + a}{c}

egészek. Az előbbi egyenlőséget

z_{0}^{k}

-val megszorozva:

\begin{matrix} x_{0}^{a} z_{0}^{k} + y_{0}^{b} z_{0}^{k} = z_{0}^{k + 1}, azaz \\ {(x_{0} z_{0}^{\frac{k}{a}})}^{a} + {(y_{0} z_{0}^{\frac{k}{b}})}^{b} = {(z_{0}^{\frac{k + 1}{c}})}^{c}, \end{matrix}

tehát

x = x_{0} z_{0}^{\frac{k}{a}}, y = y_{0} z_{0}^{\frac{k}{b}}, z = z_{0}^{\frac{k + 1}{c}}

pozitív egészekből álló megoldás (Szeidl Ádám megoldásában

x_{0} = y_{0} = 1

volt).