Feladat: F.2905 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csermely Zoltán ,  Csörnyei Marianna ,  Faragó Gergely ,  Futó Gábor ,  Kálmán Tamás ,  Marx Gábor ,  Megyesi Zoltán ,  Párniczky Benedek ,  Pete Gábor ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1993/március, 113 - 114. oldal  PDF file
Témakör(ök): Transzformációk fixpontjai, fixalakzatai, Transzformációk szorzata, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/április: F.2905

Szerkesszünk háromszöget, ha adottak az oldalaira kifelé írt szabályos n-szögek középpontjai. (Szögmérő használata is megengedett.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük a háromszög csúcsait A,B,C,-vel, a szabályos n-szögek középpontjait pedig X,Y,Z-vel az ábra szerint.

 
 


Az Y körüli α=2πn (irányított) szögű forgatás A-t C-be, az X körüli 2πn szögű forgatás C-t B-be, végül a Z körüli 2πn szögű forgatás B-t A-ba viszi át. Tehát a három forgatás egymásutánjának (szorzatának) az A fixpontja. Ismeretes, hogy egy α,β és γ szögű forgatás szorzata egy α+β+γ szögű forgatás, ha α+β+γ2kπ, illetve eltolás vagy identitás, ha α+β+γ=2kπ. Ennek bizonyítása ‐ az eredőforgatás középpontjának szerkesztési módjával együtt ‐ megtalálható Rácz János: Matematika feladatok ‐ ötletek ‐ megoldások c. könyvének 313‐315. oldalán. A feladatot ezután úgy oldjuk meg, hogy megkeressük az Y, X illetve Z pontok körüli 2πn szögű forgatások szorzatának fixpontját, ami esetünkben az A pont lesz. Mivel az n=3 esetben a három forgatás szögének összege 32π3=2π, tegyük fel egyelőre, hogy n4. Forgassuk el a sík egy tetszőleges P pontját Y, majd X, majd pedig Z körül 2πn -nel. Legyen P képe P'. Ha PP', akkor P éppen az A pont, ha PP', akkor az A pontot a PP' felező merőlegesén kell keresnünk úgy, hogy PAP'=32πn legyen. (Az A pont megszerkesztésének módját az előbb említett könyv hivatkozott lapjain is megtalálhatjuk.) Ezután a C pontot az A pont Y körüli 2πn. szöggel, B-t az A pont Z körüli -2πn szöggel való elforgatottjaként kapjuk. Mivel az n4 esetben A a forgatás (egyetlen) fixpontja, a feladatnak egy megoldása van.
Az n=3 esetben az ABC háromszög oldalaira kifelé írt szabályos háromszögek középpontjai szabályos háromszöget alkotnak. (Ennek bizonyítása megtalálható a Geometriai feladatok gyűjteménye I. 3160. feladat megoldásában.) Ez azt jelenti, hogy ha n=3, a feladat csak akkor oldható meg, ha az XYZ háromszög szabályos. Megmutatjuk, hogy ilyenkor viszont végtelen sok megoldás van. Legyen A1B1C1 tetszőleges háromszög, az oldalaira kifelé szerkesztett szabályos háromszögek középpontjai X1,Y1,Z1. Az előbbiek szerint az X1Y1Z1 háromszög szabályos. Tekintsük azt a hasonlóságot, amelyik az X1Y1Z1 háromszöget az XYZ-be viszi át. Legyen ebben a hasonlóságban az A1B1C1 háromszög képe az ABC háromszög. Az ABC háromszög feladatunk egy megoldása.
 

Megjegyzés: Feladatunkkal egy időben Gy. 2772. gyakorlatként kitűztük az n=4-nek megfelelő esetet. A gyakorlat megoldása az 1992. évi 8‐9. számban megjelent. Az ott közölt második megoldás szinte szóról-szóra alkalmazható akkor is, ha n>4.