|
Feladat: |
F.2905 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csermely Zoltán , Csörnyei Marianna , Faragó Gergely , Futó Gábor , Kálmán Tamás , Marx Gábor , Megyesi Zoltán , Párniczky Benedek , Pete Gábor , Valkó Benedek |
Füzet: |
1993/március,
113 - 114. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Transzformációk fixpontjai, fixalakzatai, Transzformációk szorzata, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1992/április: F.2905 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük a háromszög csúcsait -vel, a szabályos -szögek középpontjait pedig -vel az ábra szerint.
Az körüli (irányított) szögű forgatás -t -be, az körüli szögű forgatás -t -be, végül a körüli szögű forgatás -t -ba viszi át. Tehát a három forgatás egymásutánjának (szorzatának) az fixpontja. Ismeretes, hogy egy és szögű forgatás szorzata egy szögű forgatás, ha , illetve eltolás vagy identitás, ha Ennek bizonyítása ‐ az eredőforgatás középpontjának szerkesztési módjával együtt ‐ megtalálható Rácz János: Matematika feladatok ‐ ötletek ‐ megoldások c. könyvének 313‐315. oldalán. A feladatot ezután úgy oldjuk meg, hogy megkeressük az , illetve pontok körüli szögű forgatások szorzatának fixpontját, ami esetünkben az pont lesz. Mivel az esetben a három forgatás szögének összege , tegyük fel egyelőre, hogy . Forgassuk el a sík egy tetszőleges pontját majd majd pedig körül -nel. Legyen képe . Ha , akkor éppen az pont, ha , akkor az pontot a felező merőlegesén kell keresnünk úgy, hogy legyen. (Az pont megszerkesztésének módját az előbb említett könyv hivatkozott lapjain is megtalálhatjuk.) Ezután a pontot az pont körüli . szöggel, -t az pont körüli szöggel való elforgatottjaként kapjuk. Mivel az esetben a forgatás (egyetlen) fixpontja, a feladatnak egy megoldása van. Az esetben az háromszög oldalaira kifelé írt szabályos háromszögek középpontjai szabályos háromszöget alkotnak. (Ennek bizonyítása megtalálható a Geometriai feladatok gyűjteménye I. 3160. feladat megoldásában.) Ez azt jelenti, hogy ha , a feladat csak akkor oldható meg, ha az háromszög szabályos. Megmutatjuk, hogy ilyenkor viszont végtelen sok megoldás van. Legyen tetszőleges háromszög, az oldalaira kifelé szerkesztett szabályos háromszögek középpontjai . Az előbbiek szerint az háromszög szabályos. Tekintsük azt a hasonlóságot, amelyik az háromszöget az -be viszi át. Legyen ebben a hasonlóságban az háromszög képe az háromszög. Az háromszög feladatunk egy megoldása.
Megjegyzés: Feladatunkkal egy időben Gy. 2772. gyakorlatként kitűztük az -nek megfelelő esetet. A gyakorlat megoldása az 1992. évi 8‐9. számban megjelent. Az ott közölt második megoldás szinte szóról-szóra alkalmazható akkor is, ha |
|