Feladat: F.2897 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Álmos Attila ,  Csermely Zoltán ,  Csörnyei Marianna ,  Dőtsch András ,  Faragó Gergely ,  Futó Gábor ,  Kálmán Tamás ,  Pál András ,  Ratkó Éva ,  Veres Gábor 
Füzet: 1992/október, 298 - 299. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/március: F.2897

Bizonyítsuk be, hogy ha a,b pozitív számok, és a+b1, akkor
9a2b+9ab2-a2-10ab-b2+a+b0.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a+b+c=1, ahol c0, és alakítsuk át az egyenlőtlenséget a következőképpen:

9ab(1-c)+(a+b)(a+b+c)a2+10ab+b2,ab+bc+ca9abc,(ab+bc+ca)(a+b+c)9abc,a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca26abc.

Ez az egyenlőtlenség pedig a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján igaz:
a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca26a2bab2b2cbc2c2aca26=abc.

Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a2b=ab2=b2c=bc2=c2a=ca2, ami a=b=c=13 esetén teljesül.
 

Pál András (Budapest, Budai Nagy A. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján

 

II. megoldás. Legyen x=a+b és y=ab. A feladat feltételei szerint 0<x1, a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján pedig 0<yx24.
Az egyenlőtlenségbe behelyettesítve és átrendezve:
9xy-x2-8y+x0,y(9x-8)+x(1-x)0.

1. Ha 9x-80, akkor az egyenlőtlenség bal oldala pozitív.
2. Ha 9x-8<0, akkor a bal oldalt nem növeljük, ha y helyére a nála nem kisebb x24-et írjuk. Elég tehát ekkor azt bizonyítani, hogy
x24(9x-8)+x(1-x)0.

Ez az egyenlőtlenség x-szel való osztás és rendezés után a következőképpen alakul:
9x2-12x+40,azaz(3x-2)20,

ez pedig valóban igaz.
Egyenlőség akkor áll fenn, ha 3x-2=0, azaz x=23 (ebben az esetben 9x-8<0 valóban teljesül) és y=x24=19. Mivel y=x24 pontosan akkor teljesül, ha a=b, ebből a=b=13 következik.
Egyenlőség tehát csak a=b=13 esetén lép fel.
 

Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.)