|
Feladat: |
F.2897 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Álmos Attila , Csermely Zoltán , Csörnyei Marianna , Dőtsch András , Faragó Gergely , Futó Gábor , Kálmán Tamás , Pál András , Ratkó Éva , Veres Gábor |
Füzet: |
1992/október,
298 - 299. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1992/március: F.2897 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen ahol és alakítsuk át az egyenlőtlenséget a következőképpen:
Ez az egyenlőtlenség pedig a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján igaz: | |
Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha ami esetén teljesül.
Pál András (Budapest, Budai Nagy A. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján
II. megoldás. Legyen és . A feladat feltételei szerint a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján pedig Az egyenlőtlenségbe behelyettesítve és átrendezve:
1. Ha , akkor az egyenlőtlenség bal oldala pozitív. 2. Ha , akkor a bal oldalt nem növeljük, ha helyére a nála nem kisebb -et írjuk. Elég tehát ekkor azt bizonyítani, hogy Ez az egyenlőtlenség -szel való osztás és rendezés után a következőképpen alakul: | |
ez pedig valóban igaz. Egyenlőség akkor áll fenn, ha , azaz (ebben az esetben valóban teljesül) és . Mivel pontosan akkor teljesül, ha , ebből következik. Egyenlőség tehát csak esetén lép fel. Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.)
|
|