Kezdőlap


Feladat:	F.2897	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Álmos Attila , Csermely Zoltán , Csörnyei Marianna , Dőtsch András , Faragó Gergely , Futó Gábor , Kálmán Tamás , Pál András , Ratkó Éva , Veres Gábor
Füzet:	1992/október, 298 - 299. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/március: F.2897

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen $a + b + c = 1,$ ahol $c \geq 0,$ és alakítsuk át az egyenlőtlenséget a következőképpen:

\begin{matrix} 9 a b (1 - c) + (a + b) (a + b + c) \geq & a^{2} + 10 a b + b^{2}, \\ a b + b c + c a \geq & 9 a b c, \\ (a b + b c + c a) (a + b + c) \geq & 9 a b c, \\ a^{2} b + a b^{2} + b^{2} c + b c^{2} + c^{2} a + c a^{2} \geq & 6 a b c . \end{matrix}

Ez az egyenlőtlenség pedig a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján igaz:

\begin{matrix} \frac{a^{2} b + a b^{2} + b^{2} c + b c^{2} + c^{2} a + c a^{2}}{6} \geq \sqrt[6]{a^{2} b \cdot a b^{2} \cdot b^{2} c \cdot b c^{2} \cdot c^{2} a \cdot c a^{2}} = a b c . \end{matrix}

Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha

a^{2} b = a b^{2} = b^{2} c = b c^{2} = c^{2} a = c a^{2},

ami

a = b = c = \frac{1}{3}

esetén teljesül.

Pál András (Budapest, Budai Nagy A. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján

II. megoldás. Legyen

x = a + b

és

y = a b

. A feladat feltételei szerint

0 < x \leq 1,

a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján pedig

0 < y \leq \frac{x^{2}}{4} .

Az egyenlőtlenségbe behelyettesítve és átrendezve:

\begin{matrix} 9 x y - x^{2} - 8 y + x \geq 0, \\ y (9 x - 8) + x (1 - x) \geq 0. \end{matrix}

1. Ha

9 x - 8 \geq 0

, akkor az egyenlőtlenség bal oldala pozitív.
2. Ha

9 x - 8 < 0

, akkor a bal oldalt nem növeljük, ha

y

helyére a nála nem kisebb

\frac{x^{2}}{4}

-et írjuk. Elég tehát ekkor azt bizonyítani, hogy

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4} (9 x - 8) + x (1 - x) \geq 0. \end{matrix}

Ez az egyenlőtlenség

x

-szel való osztás és rendezés után a következőképpen alakul:

\begin{matrix} 9 x^{2} - 12 x + 4 \geq 0, azaz {(3 x - 2)}^{2} \geq 0, \end{matrix}

ez pedig valóban igaz.
Egyenlőség akkor áll fenn, ha

3 x - 2 = 0

, azaz

x = \frac{2}{3}

(ebben az esetben

9 x - 8 < 0

valóban teljesül) és

y = \frac{x^{2}}{4} = \frac{1}{9}

. Mivel

y = \frac{x^{2}}{4}

pontosan akkor teljesül, ha

a = b

, ebből

a = b = \frac{1}{3}

következik.
Egyenlőség tehát csak

a = b = \frac{1}{3}

esetén lép fel.

Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.)