Feladat: F.2875 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Kálmán Tamás ,  Kerekes Balázs ,  Levente Gábor ,  Szendrei Tamás 
Füzet: 1992/november, 364 - 365. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Pont körüli forgatás, Geometriai transzformációk, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/november: F.2875

Az A1A2A3 szabályos háromszög A1A2, A2A3, A3A1 oldalának felezőpontja rendre B3, B1, B2. Szerkesszünk a B1B2, B2B3, B3B1 szakaszokon olyan C3, C1, C2 pontokat, hogy az A1C1C2, A2C2C3, A3C3C1 ponthármasok egy-egy egyenesbe essenek.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje O az A1A2A3 szabályos háromszög középpontját. Tegyük fel, hogy C1,C2,C3 megoldása a feladatnak.

 
 

1. ábra
 


Megmutatjuk, hogy ekkor más megoldás nem létezik. Ha ugyanis a C'1,C'2,C'3 pontok is eleget tesznek a feladat követelményeinek, akkor például C'3C3. Tételezzük fel, hogy C'3 a C3B1 szakasz belső pontja. Mivel A3,C'3,C'1 is egy egyenesbe esnek, azért C'1 a C1B3 belsejében fekszik. Hasonlóan A1,C'1,C'2 is egy egyenesen helyezkednek el, ezért C'2 csak B3C2 belsejében lehet. Így azonban az A2C3 egyenes elválasztja a C'2,C'3 pontokat, tehát A2,C'2,C'3 nem lehetnek egy egyenesen. Ugyanerre az eredményre jutunk abban az esetben is, ha C'3 a B2C3 szakasz belsejében található; ezzel beláttuk, hogy a feladat megoldása (ha egyáltalán létezik) egyértelmű.
Forgassuk el az A1,A2,A3, valamint a C1,C2,C3 pontokat O körül 120-kal. Mivel az A1,A2,A3 pontok egymás elforgatottjai, azért a C1,C2,C3 képei ismét egy megoldást szolgáltatnak. Az egyértelműség miatt ez csak úgy lehetséges, hogy C1,C2,C3 egymásba mennek át az elforgatás során, vagyis a C1C2C3 háromszög is szabályos. Ebből következik, hogy

C2B1=C3B2=C1B3és(1)B3C2=B1C3=B2C1.(2)



Jelöljük az (1)-ben és (2)-ben szereplő szakaszok hosszát a-val, illetve b-vel, a B1B2B3 háromszög oldala pedig legyen egységnyi. A C3C2B1 és A2C2B3 háromszögek hasonlók, mert szögeik páronként megegyeznek. Ezért a:b=b:1, és mivel a+b=1,
a:b=b:(a+b).(3)


Ez azt jelenti, hogy pl. a C2 pont a B1B3 szakaszt az aranymetszés szerint osztja. A (3) egyenletet így írhatjuk: b2=a(a+b) és mivel a=1-b,b2=1-b. Ebből az egyenletből b=-1±52, mivel b pozitív szám, b=-1+52. (A b szakasz szerkesztését a 2. ábrán láthatjuk.)
 
 

2. ábra
 

Ha pl. a C2 pontot a B1B3 szakaszon (3)-nak megfelelően megszerkesztjük, a B1 és B3-nál lévő 60-os szögek és az ezeket közbezáró oldalak arányának megegyezése réven az A2C2B3 és C3C2B1 háromszögek hasonlóak lesznek. Ennek következménye, hogy az A2,C2,C3 pontok egy egyenesre illeszkednek. Hasonlóan igaz az A3, C3, C1 és A1, C1, C2 ponthármasokra, tehát szerkesztésünk helyes.
 

Megjegyzés. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor az A1A2A3 háromszög nem szabályos. Ismeretes ‐ azok számára, akik tanultak az affin transzformációkról ‐ hogy bármely két háromszöghöz egyértelműen létezik egy olyan affinitás (egyenestartó transzformáció), amely az egyik háromszög csúcsait a másik csúcsaiba viszi át. Tudjuk továbbá, hogy az affin transzformáció egy egyenes három pontjának osztási arányát (az osztóviszonyt) megtartja, ezért pl. felezőpontot felezőpontba, szakasz aranymetszés szerinti osztópontját aranymetszés szerinti osztópontba visz át. Így egy szabályos háromszöghöz és egy tetszőleges A1A2A3 háromszöghöz található a fenti tulajdonságokkal rendelkező affin transzformáció. Ez azt jelenti, hogy a szabályos háromszögre talált eljárás a C1, C2, C3 pontok megszerkesztésére bármely háromszögnél alkalmazható.
 

 Csörnyei Marianna (Főv. Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)