Feladat: F.2791 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bíró Norbert ,  Egri Ilona ,  Harcos Gergely ,  Kovács Vera ,  Magó Kálmán ,  Németh Sándor ,  Podoski Károly ,  Virág Bálint 
Füzet: 1990/december, 449 - 450. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Derékszögű háromszögek geometriája, Alakzatok köré írt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/március: F.2791

Egy háromszögben két oldal négyzetének összege egyenlő a körülirt kör átmérőjének négyzetével. Igaz-e, hogy a háromszög derékszögű?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A szokásos jelöléseket használva a=2rsinα, b=2rsinβ.
A feltétel szerint a2+b2=4r2, azaz

4r2sin2α+4r2sin2β=4r2,



amiből
sin2α+sin2β=1.(1)



Ismeretes, hogy sin2α=1-cos2α2, ezért (1) így folytatható:
1-cos2α2+1-cos2β2=1,tehátcos2α+cos2β=0.


A bal oldalt szorzattá alakítva:
2cos(α+β)cos(α-β)=0,



ami pontosan akkor teljesül, ha vagy
cos(α+β)=0(2)


vagy
cos(α-β)=0.(3)


(2)-ből azt láthatjuk, hogy α+β=90, tehát ekkor a háromszög derékszögű, (3) pedig azt jelenti, hogy |α-β|=90, amikor is a háromszög biztosan tompaszögű. Erre az utóbbi esetre példa lehet egy olyan egyenlő szárú háromszög, amelyben a szárak hossza és a körülírt kör sugara r, a szárak közötti szög pedig 120. Ennek a háromszögnek az alapja b=r3, a két oldalának négyzetösszege: r2+3r2=4r2, ami valóban egyenlő a körülírt kör átmérőjének négyzetével.
A feladat kérdésére tehát nemleges választ kell adnunk.
 

 Harcos Gergely (BP., ELTE Apáczai Csere J. Gimn. III. o. t.)
 

II. megoldás. Megmutatjuk, hogy a háromszög nem feltétlenül derékszögű.
 
 

Az ábrát úgy rajzoltuk, hogy CB=BD=a és AD=2r legyen. Az ábra további jelöléseit is használva, a Pitagorasz-tétel szerint az ABD háromszögre: a2+b2=4r2.
Mivel az ABC háromszög két oldala is a, illetve b, a2+b2=4r2 erre a háromszögre is teljesül, de az ACB szög nyilván tompaszög.
 

 Egri Ilona (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.)