Kezdőlap


Feladat:	F.2791	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bíró Norbert , Egri Ilona , Harcos Gergely , Kovács Vera , Magó Kálmán , Németh Sándor , Podoski Károly , Virág Bálint
Füzet:	1990/december, 449 - 450. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Derékszögű háromszögek geometriája, Alakzatok köré írt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/március: F.2791

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A szokásos jelöléseket használva $a = 2 r \cdot sin α$ , $b = 2 r \cdot sin β$ .
A feltétel szerint $a^{2} + b^{2} = 4 r^{2}$ , azaz

\begin{matrix} 4 r^{2} \cdot sin^{2} α + 4 r^{2} \cdot sin^{2} β = 4 r^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} sin^{2} α + sin^{2} β = 1. & (1) \end{matrix}

Ismeretes, hogy

sin^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{2}

, ezért (1) így folytatható:

\begin{matrix} \frac{1 - cos 2 α}{2} + \frac{1 - cos 2 β}{2} = 1, tehát cos 2 α + cos 2 β = 0. \end{matrix}

A bal oldalt szorzattá alakítva:

\begin{matrix} 2 \cdot cos (α + β) \cdot cos (α - β) = 0, \end{matrix}

ami pontosan akkor teljesül, ha vagy

\begin{matrix} cos (α + β) = 0 & (2) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} cos (α - β) = 0. & (3) \end{matrix}

(2)-ből azt láthatjuk, hogy

α + β = 90^{\circ}

, tehát ekkor a háromszög derékszögű, (3) pedig azt jelenti, hogy

| α - β | = 90^{\circ}

, amikor is a háromszög biztosan tompaszögű. Erre az utóbbi esetre példa lehet egy olyan egyenlő szárú háromszög, amelyben a szárak hossza és a körülírt kör sugara r, a szárak közötti szög pedig

120^{\circ}

. Ennek a háromszögnek az alapja

b = r \cdot \sqrt[]{3}

, a két oldalának négyzetösszege:

r^{2} + 3 r^{2} = 4 r^{2}

, ami valóban egyenlő a körülírt kör átmérőjének négyzetével.
A feladat kérdésére tehát nemleges választ kell adnunk.

Harcos Gergely (BP., ELTE Apáczai Csere J. Gimn. III. o. t.)

II. megoldás. Megmutatjuk, hogy a háromszög nem feltétlenül derékszögű.

Az ábrát úgy rajzoltuk, hogy

C B = B D = a

és

A D = 2 r

legyen. Az ábra további jelöléseit is használva, a Pitagorasz-tétel szerint az

A B D

háromszögre:

a^{2} + b^{2} = 4 r^{2}

.
Mivel az

A B C

háromszög két oldala is a, illetve b,

a^{2} + b^{2} = 4 r^{2}

erre a háromszögre is teljesül, de az

A C B

szög nyilván tompaszög.

Egri Ilona (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.)