Feladat: F.2788 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kórász Tamás ,  Podoski Károly ,  Sági Zoltán 
Füzet: 1990/december, 448 - 449. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szorzat, hatványozás azonosságai, Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/március: F.2788

Legyenek az x, y, z olyan valós számok, melyekre |x|2, |y|2, |z|2. Milyen kicsi lehet az |xyz+2(x+y+z)|?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Két esetet különböztetünk meg.

 

1. eset: Mindhárom szám egyező előjelű. Nyilván elég azzal az alesettel foglalkozni, ha mindegyikük pozitív. Ekkor x,y,z2, s így

|xyz+2(x+y+z)|=xyz+2(x+y+z)8+2(2+2+2)=20.



2. eset: Két szám előjele ellenkezője a harmadik előjelének. Itt is elég csak azzal az alesettel foglalkozni, ha kettő negatív, egy pozitív; pl. x,y<0, z2. Ekkor xy>0, tehát xyz2xy és 2(x+y+z)2(x+y)+4, így

xyz+2(x+y+z)>2xy+2(x+y)+4=2(x+1)(y+1)+2.



Itt x-2 és y-2, ezért x+1-1 és y+1-1. Ebből következik, hogy (x+1)(y+1)1, és

xyz+2(x+y+z)2(x+1)(y+1)+22+2=4.



Egyenlőség akkor van, ha x=-2, y=-2 és z=2.
Azt kaptuk tehát, hogy az |xyz+2(x+y+z)| kifejezés minimális értéke 4, és ezt az értéket pontosan akkor éri e1, ha mindhárom szám abszolút értéke 2, és a számok között pozitív és negatív egyaránt előfordul.
 

II. megoldás. Most is csak arra a két esetre szorítkozunk, ha x,y,z>0 vagy x,y<0 és z>0. Az első esetben a kifejezés értéke legalább 20. A második esetben legyen x=-2-a, y=-2-b, z=2+c, (a,b,c0). Ekkor

xyz+2(x+y+z)=(-2-a)(-2-b)(2+c)+2((-2-a)+(-2-b)+(2+c))==8+4a+4b+4c+2ab+2ac+2bc+abc+2(c-a-b-2)==4+2a+2b+6c+2ab+2ac+2bc+abc4,


(hiszen a,b,c0), és egyenlőség csak a=b=c=0 esetén van, vagyis ha x,y és z közül kettőnek az értéke 2 és egyé -2, vagy fordítva.
 

 Kórász Tamás (Szeged, Radnóti Miklós Gimn., III. o. t.)