Kezdőlap


Feladat:	F.2776	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Harcos Gergely
Füzet:	1990/november, 373. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Hossz, kerület, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Négyzetek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/január: F.2776

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $n$ db kis négyzet oldala rendre $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{n}$ hosszúságú. Ekkor a négyzetek területösszege, $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2}$ legfeljebb a nagy négyzet területét adja, mert a kis négyzeteknek nincs közös belső pontjuk. Így $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2} \leq 1$ . A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} a_{1} + a_{2} ... + a_{n} \leq n \sqrt[]{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2}}{n}} \leq \frac{n}{\sqrt[]{n}} = \sqrt[]{n}, \end{matrix}

s itt a bal oldalon éppen a kis négyzetek oldalhosszának összege áll. A feladat első állítását ezzel bebizonyítottuk.

Legyen a kis kockák éle rendre

b_{1}

b_{2}

...

b_{n}

. Ekkor az előzőekhez hasonlóan azt kapjuk, hogy

b_{1}^{3} + b_{2}^{3} + ... + b_{n}^{3} \leq 1

, és ezúttal a számtani és a harmadik hatványközép közötti összefüggés alapján

\begin{matrix} b_{1} + b_{2} + ... + b_{n} \leq n \sqrt[3]{\frac{b_{1}^{3} + b_{2}^{3} + ... + b_{n}^{3}}{n}} \leq \frac{n}{\sqrt[3]{n}} = n^{2 / 3} . \end{matrix}

Itt a bal oldalon ismét a kis kockák éleinek összege áll. Ezzel a feladat második részét is beláttuk.
Mindkét esetben csak akkor van egyenlőség, ha a négyzetet

n = k^{2}

1 / k

oldalú kis négyzetre, ill, a kockát

n = k^{3}

1 / k

élű kis kockára bontjuk.

Harcos Gergely (Bp., ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.)