Feladat: F.2776 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Harcos Gergely 
Füzet: 1990/november, 373. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kocka, Hossz, kerület, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Négyzetek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/január: F.2776

Egy egységoldalú négyzetben n db kis négyzetet helyeztünk el úgy, hogy semelyik kettőnek nincs közös belső pontja. Igazoljuk, hogy a négyzetek oldalhosszúságának összege legföljebb n.
Egy egységnyi élű kockában n db kis kockát helyeztünk el úgy, hogy semelyik kettőnek nincs közös belső pontja. Igazoljuk, hogy a kockák éleinek összege legfeljebb n2/3.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az n db kis négyzet oldala rendre a1, a2, ..., an hosszúságú. Ekkor a négyzetek területösszege, a12+a22+...+an2 legfeljebb a nagy négyzet területét adja, mert a kis négyzeteknek nincs közös belső pontjuk. Így a12+a22+...+an21. A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség szerint

a1+a2...+anna12+a22+...+an2nnn=n,
s itt a bal oldalon éppen a kis négyzetek oldalhosszának összege áll. A feladat első állítását ezzel bebizonyítottuk.
 

Legyen a kis kockák éle rendre b1, b2, ..., bn. Ekkor az előzőekhez hasonlóan azt kapjuk, hogy b13+b23+...+bn31, és ezúttal a számtani és a harmadik hatványközép közötti összefüggés alapján
b1+b2+...+bnnb13+b23+...+bn3n3nn3=n2/3.
Itt a bal oldalon ismét a kis kockák éleinek összege áll. Ezzel a feladat második részét is beláttuk.
Mindkét esetben csak akkor van egyenlőség, ha a négyzetet n=k2 db 1/k oldalú kis négyzetre, ill, a kockát n=k3 db 1/k élű kis kockára bontjuk.
 

Harcos Gergely (Bp., ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.)