Feladat: F.2680 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh 171 J. ,  Benczúr P. ,  Bíró 100 A. ,  Bokor P. ,  Buttyán L. ,  Csirik J. ,  Csőreg S. ,  Domokos P. ,  Elbert J. ,  Fleiner T. ,  Hídvégi Z. ,  Jónás A. ,  Keleti T. ,  Kodaj B. ,  Lancsa Hajnalka ,  Máté Nóra ,  Mezei J. ,  Peták A. ,  Sustik M. ,  Szabó T. ,  Szamuely T. ,  Tikk I. ,  Tirpák Eszter ,  Tőkei Zs. ,  Veres L. ,  Vörös T. 
Füzet: 1988/november, 365 - 366. oldal  PDF file
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Indirekt bizonyítási mód, Determinánsok - lineáris egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/március: F.2680

Határozzuk meg az összes olyan (a;b;c) valós számhármast, amelyre a következő egyenletrendszernek van az x=y=z=0 esettől különböző megoldása:

ax+by+cz=0;bx+cy+az=0;cx+ay+bz=0.




A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Könnyen észrevehető, hogy ha a+b+c=0, akkor minden, az x=y=z kikötésnek eleget tevő számhármas megoldás.
Az is világos, hogy ha a=b=c, akkor minden olyan számhármas megoldás, amelyre x+y+z=0.
A továbbiakban föltesszük, hogy a+b+c0, és a, b, c közül legalább kettő különböző, végül feltesszük, hogy az egyenletrendszernek létezik egy olyan x1, y1, z1 megoldása, ahol z0.
Bevezetve az

x'=x1z1,y'=y1z1
számokat, ezekre:
ax'+by'=-c,bx'+cy'=-aéscx'+ay'=-b.

A három egyenletet összeadva, majd a+b+c0-val osztva az x'+y'=-1 egyenlethez jutunk. Az y'=-1-x' összefüggést az újabb három egyenletünkbe helyettesítve:
(a-b)x'=b-c,(b-c)x'=c-a  és  (c-a)x'=a-b.

Látható, hogy a, b, c közül semelyik kettő sem lehet egyenlő, ui. ha pl. a=b, akkor az első egyenletből b=c, tehát a=b=c, amit kizártunk. Ha összeszorozzuk e három egyenletet, az
(a-b)(b-c)(c-a)(x'3-1)=0
egyenlethez jutunk. Itt (a-b)(b-c)(c-a)0, tehát x'3=1, amiből x'=1, így a-b=b-c=c-a. E három ‐ egymással egyenlő ‐ szám összege nulla, egyenlők tehát csak úgy lehetnek, ha mindegyikük nulla, amit viszont kizártunk. Feltevésünkkel ellentmondásra jutottunk. A feladatban szereplő egyenletrendszernek ezért az x=y=z=0 esettől különböző megoldása két esetben van: ha a+b+c=0 vagy ha a=b=c.
 
II. megoldás. Ismeretes, hogy egy homogén lineáris egyenletrendszernek ‐ amilyen a feladatban is szerepel ‐ pontosan akkor van nem triviális (nem csupa nulla) megoldása, ha determinánsa nulla. A mi esetünkben ez a determináns:
0=|abcbcacab|=3abc-a3-b3-c3=-12(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2].

Innen két esetet kapunk: Vagy a+b+c=0 (amikor minden x=y=z számhármas megoldás), vagy (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0, azaz a=b=c (amikor minden olyan számhármas megoldás, amelyre x+y+z=0). Minden más esetben csak a triviális megoldás létezik.