|
Feladat: |
F.2680 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Balogh 171 J. , Benczúr P. , Bíró 100 A. , Bokor P. , Buttyán L. , Csirik J. , Csőreg S. , Domokos P. , Elbert J. , Fleiner T. , Hídvégi Z. , Jónás A. , Keleti T. , Kodaj B. , Lancsa Hajnalka , Máté Nóra , Mezei J. , Peták A. , Sustik M. , Szabó T. , Szamuely T. , Tikk I. , Tirpák Eszter , Tőkei Zs. , Veres L. , Vörös T. |
Füzet: |
1988/november,
365 - 366. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Indirekt bizonyítási mód, Determinánsok - lineáris egyenletrendszerek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1988/március: F.2680 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Könnyen észrevehető, hogy ha , akkor minden, az kikötésnek eleget tevő számhármas megoldás. Az is világos, hogy ha , akkor minden olyan számhármas megoldás, amelyre . A továbbiakban föltesszük, hogy , és , , közül legalább kettő különböző, végül feltesszük, hogy az egyenletrendszernek létezik egy olyan , , megoldása, ahol . Bevezetve az számokat, ezekre: | |
A három egyenletet összeadva, majd -val osztva az egyenlethez jutunk. Az összefüggést az újabb három egyenletünkbe helyettesítve: | |
Látható, hogy , , közül semelyik kettő sem lehet egyenlő, ui. ha pl. , akkor az első egyenletből , tehát , amit kizártunk. Ha összeszorozzuk e három egyenletet, az egyenlethez jutunk. Itt , tehát , amiből , így . E három ‐ egymással egyenlő ‐ szám összege nulla, egyenlők tehát csak úgy lehetnek, ha mindegyikük nulla, amit viszont kizártunk. Feltevésünkkel ellentmondásra jutottunk. A feladatban szereplő egyenletrendszernek ezért az esettől különböző megoldása két esetben van: ha vagy ha .
II. megoldás. Ismeretes, hogy egy homogén lineáris egyenletrendszernek ‐ amilyen a feladatban is szerepel ‐ pontosan akkor van nem triviális (nem csupa nulla) megoldása, ha determinánsa nulla. A mi esetünkben ez a determináns: | |
Innen két esetet kapunk: Vagy (amikor minden számhármas megoldás), vagy , azaz (amikor minden olyan számhármas megoldás, amelyre ). Minden más esetben csak a triviális megoldás létezik. |
|