Kezdőlap


Feladat:	F.2640	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bánkövi Johanna , Beke T. , Benczúr A. , Bereczky Á. , Binder Zsuzsanna , Csőreg S. , Cynolter G. , Dienes J. , Domokos P. , Fülöp Cs. , Gács A. , Hadnagy Éva , Hajdú G. , Kecskés K. , Kelemen Eszter , Keleti T. , Kovács 969 T. , Madas P. , Majoros L. , Németh L. , Rimányi R. , Sustik M. , Szabó 484 P. , Szalay Gy. , Tasi Andrea , Varga Zs. , Veres E. , Wolkensdorfer P. , Zaránd G.
Füzet:	1987/december, 445 - 446. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Kombinatorikai leszámolási problémák, Permutációk, Kombinációk, Számsorok, "e" szám közelítő kiszámítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/május: F.2640

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kiszámoljuk $A_{k}$ pontos értékét. (Az egyszerűség kedvéért az üres sorozatot is a "jó'' sorozatok közé tartozónak tekintjük. Ez nyilván nem változtat a feladat állításán, hiszen $\frac{A_{k}}{k!}$ és $\frac{A_{k} + 1}{k!}$ egyszerre konvergens, mert ${lim}_{k \to \infty}^{} \frac{1}{k!} = 0.)$
Nézzük meg, hány $i$ elemű, "jó'' (a feladat feltételeit kielégítő) sorozat van $(i = 1, 2, ..., k) . k$ darab elem közül $i$ darabot $(\binom{k}{i})$ -féleképpen választhatunk ki, s ezt az $i$ elemet $i!$ -féleképpen állíthatjuk sorba ( $i = 0$ esetén $0! = 1$ ). Ezek szerint $(\binom{k}{i}) i! = \frac{k!}{(k - i)!}$ darab $i$ elemű ,,jó'' sorozat van. Így $A_{k} = \sum_{i = 0}^{k} \frac{k!}{(k - i)!} = k! \sum_{i = 0}^{k} \frac{1}{i!}$ (ha $i$ végigfut a $0$ és $k$ közti egészeken, akkor $k - i$ is ezt teszi). Tehát

\begin{matrix} \frac{A_{k}}{k!} = \sum_{i = 0}^{k} \frac{1}{i!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{k!} . \end{matrix}

\frac{A_{k}}{k!}

láthatóan szigorúan monoton növekvő sorozat, másrészt

i! = i (i - 1) ... 2 \cdot 1 ≧ 2 \cdot 2 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1 = 2^{i - 1}

minden

i ≧ 1

-re, tehát

\begin{matrix} \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{k!} ≦ 1 + \frac{1}{2^{0}} + \frac{1}{2^{1}} + ... + \frac{1}{2^{k - 1}} = \\ = 1 + \frac{1 - \frac{1}{2^{k}}}{1 - \frac{1}{2}} < 1 + \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 3, \end{matrix}

így

\frac{A_{k}}{k!}

felülről korlátos. Minthogy monoton nő és felülről korlátos, ezért konvergens, amit bizonyítani kellett.

Megjegyzések. 1. Ismeretes, hogy

{lim}_{k \to \infty}^{} \sum_{i = 0}^{k} \frac{x^{i}}{i!} = e^{x}

minden

x

-re fennáll (ld.: Urbán János: Határértékszámítás, Műszaki Könyvkiadó, 1975., 422. oldal), így

x = 1

-re azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} {lim}_{k \to \infty}^{} \frac{A_{k}}{k!} = {lim}_{k \to \infty}^{} \sum_{i = 0}^{k} \frac{1}{i!} = e . \end{matrix}

2. Az

s_{0} = a_{0}

s_{1} = a_{0} + a_{1}

...

s_{k} = a_{0} + a_{1} + ... + a_{k}

alakú sorozat (ún. végtelen sor) konvergenciájának elégséges (de nem szükséges!) feltétele, ha teljesül, hogy
a) minden

a_{i}

pozitív (a sor pozitív tagú) és
b) van olyan

0 < q < 1

szám, hogy minden

i

-re

\begin{matrix} a_{i + 1} / a_{i} ≦ q . \end{matrix}

Az a) feltétel ugyanis biztosítja, hogy

s_{k}

(szigorúan) monoton nő. A b) feltétel alapján pedig az

s_{k}

sor felülről becsülhető egy konvergens (tehát korlátos) mértani sorral: ugyanis

\begin{matrix} a_{i} = a_{i} / a_{i - 1} \cdot a_{i - 1} / a_{i - 2} \cdot ... \cdot a_{1} / a_{0} \cdot a_{0} ≦ q^{i} a_{0}, \end{matrix}

tehát

s_{k} = a_{0} + a_{1} + a_{2} + ... + a_{k} ≦ a_{0} + a_{0} q + a_{0} q^{2} + ... + a_{0} q^{k} = a_{0} \frac{1 - q^{k + 1}}{1 - q} < \frac{a_{0}}{1 - q}

(q < 1

a_{0} > 0) .

Így

s_{k}

felülről korlátos, és mivel monoton nő, valóban konvergens. Az

s_{k}

sor még akkor is felülről becsülhető egy

q

hányadosú mértani sor és egy konstans összegével, ha b) helyett a következő, gyengébb feltétel teljesül:
b') van olyan

q < 1

pozitív szám, amelyre minden elég nagy

i

esetén

a_{i + 1} / a_{i} ≦ q .

a) és b') együtt az ún. hányados-kritérium, amit mi a fenti megoldásban

q = \frac{1}{2}

helyettesítéssel alkalmaztunk. A mi esetünkben

\frac{a_{i} + 1}{a_{i}} = \frac{1}{i + 1},

s ez 0-hoz tart, ha

i

a végtelenbe tart, így b') nyilván akármilyen

0 < q

esetén fennáll.
(Megjegyzendő, hogy ha

x

rögzített pozitív szám, akkor az előző megjegyzésben szereplő

s_{k} = \frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + ... + \frac{x^{k}}{k!}

sorozatról ugyanígy látható be, hogy konvergens.)