Feladat: F.2640 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bánkövi Johanna ,  Beke T. ,  Benczúr A. ,  Bereczky Á. ,  Binder Zsuzsanna ,  Csőreg S. ,  Cynolter G. ,  Dienes J. ,  Domokos P. ,  Fülöp Cs. ,  Gács A. ,  Hadnagy Éva ,  Hajdú G. ,  Kecskés K. ,  Kelemen Eszter ,  Keleti T. ,  Kovács 969 T. ,  Madas P. ,  Majoros L. ,  Németh L. ,  Rimányi R. ,  Sustik M. ,  Szabó 484 P. ,  Szalay Gy. ,  Tasi Andrea ,  Varga Zs. ,  Veres E. ,  Wolkensdorfer P. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1987/december, 445 - 446. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sorozat határértéke, Kombinatorikai leszámolási problémák, Permutációk, Kombinációk, Számsorok, "e" szám közelítő kiszámítása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/május: F.2640

Jelölje Ak azoknak a sorozatoknak a számát, amelyek k darab előre megadott jel mindegyikét legfeljebb egyszer tartalmazzák.
Bizonyítsuk be, hogy az Ak/k! sorozat konvergens.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kiszámoljuk Ak pontos értékét. (Az egyszerűség kedvéért az üres sorozatot is a "jó'' sorozatok közé tartozónak tekintjük. Ez nyilván nem változtat a feladat állításán, hiszen Akk! és Ak+1k! egyszerre konvergens, mert limk1k!=0.)
Nézzük meg, hány i elemű, "jó'' (a feladat feltételeit kielégítő) sorozat van (i=1,2,...,k).k darab elem közül i darabot (ki) -féleképpen választhatunk ki, s ezt az i elemet i!-féleképpen állíthatjuk sorba (i=0 esetén 0!=1). Ezek szerint (ki)i!=k!(k-i)! darab i elemű ,,jó'' sorozat van. Így Ak=i=0kk!(k-i)!=k!i=0k1i! (ha i végigfut a 0 és k közti egészeken, akkor k-i is ezt teszi). Tehát

Akk!=i=0k1i!=10!+11!+12!+...+1k!.
Akk! láthatóan szigorúan monoton növekvő sorozat, másrészt i!=i(i-1)...2122...21=2i-1 minden i1-re, tehát
10!+11!+12!+...+1k!1+120+121+...+12k-1==1+1-12k1-12<1+11-12=3,


így Akk! felülről korlátos. Minthogy monoton nő és felülről korlátos, ezért konvergens, amit bizonyítani kellett.
 

Megjegyzések. 1. Ismeretes, hogy limki=0kxii!=ex minden x-re fennáll (ld.: Urbán János: Határértékszámítás, Műszaki Könyvkiadó, 1975., 422. oldal), így x=1-re azt kapjuk, hogy
limkAkk!=limki=0k1i!=e.

2. Az s0=a0, s1=a0+a1, ..., sk=a0+a1+...+ak alakú sorozat (ún. végtelen sor) konvergenciájának elégséges (de nem szükséges!) feltétele, ha teljesül, hogy
a) minden ai pozitív (a sor pozitív tagú) és
b) van olyan 0<q<1 szám, hogy minden i-re
ai+1/aiq.
Az a) feltétel ugyanis biztosítja, hogy sk (szigorúan) monoton nő. A b) feltétel alapján pedig az sk sor felülről becsülhető egy konvergens (tehát korlátos) mértani sorral: ugyanis
ai=ai/ai-1ai-1/ai-2...a1/a0a0qia0,
tehát sk=a0+a1+a2+...+aka0+a0q+a0q2+...+a0qk=a01-qk+11-q<a01-q (q<1, a0>0). Így sk felülről korlátos, és mivel monoton nő, valóban konvergens. Az sk sor még akkor is felülről becsülhető egy q hányadosú mértani sor és egy konstans összegével, ha b) helyett a következő, gyengébb feltétel teljesül:
b') van olyan q<1 pozitív szám, amelyre minden elég nagy i esetén ai+1/aiq.
a) és b') együtt az ún. hányados-kritérium, amit mi a fenti megoldásban q=12  helyettesítéssel alkalmaztunk. A mi esetünkben ai+1ai=1i+1, s ez 0-hoz tart, ha i a végtelenbe tart, így b') nyilván akármilyen 0<q esetén fennáll.
(Megjegyzendő, hogy ha x rögzített pozitív szám, akkor az előző megjegyzésben szereplő sk=10!+x1!+x22!+...+xkk!  sorozatról ugyanígy látható be, hogy konvergens.)