Feladat: F.2621 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beke T. ,  Benczúr A. ,  Binder Zsuzsanna ,  Csáki Cs. ,  Cynolter G. ,  Gyuris V. ,  Hajnal G. ,  Károlyi 231 Enikő ,  Lipták 182 L. ,  Madas P. ,  Majoros L. ,  Pál G. ,  Rimányi Richárd ,  Szabó 484 P. ,  Szabó 639 A. ,  Szalay Gy. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1987/október, 298 - 299. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sorozat határértéke, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/február: F.2621

Határozzuk meg mindazokat az (A,B) számpárokat, amelyekre léteznek olyan an, bn sorozatok, hogy lim(anbn)=A és lim(an+bn)=B. Milyen A és B esetén lesz igaz, hogy a fenti an és bn sorozatok maguk is konvergensek?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adott an és bn sorozatokhoz tekintsük a dn=(an+bn)2-4anbn=(an-bn)2 sorozatot. Amennyiben az (an+bn) és az (anbn) sorozatok konvergensek, úgy (dn) is az, és a határértékszámítás elemi összefüggései szerint limndn=limn[(an+bn)2-4anbn]=B2-4A. A (dn) elemei nemnegatív számok, így a sorozat határértéke sem lehet negatív. Az (A,B) számpár tehát csak akkor teljesíti a feladat követelményeit, ha B24A.
Megmutatjuk, hogy a talált feltétel elégséges: ha B24A, akkor létezik olyan (an) illetve (bn) sorozat, amelyek szorzata A-hoz, összege pedig B-hez tart.
Tekintsük ugyanis az α=B+B2-4A2 és a β=B-B2-4A2 számokat. Mivel αβ=A,α+β=B, az an=α,bn=β sorozat nyilván megfelelő.
Az is látszik, hogy ha csak annyit írunk elő, hogy {an,bn}={α,β} minden n-re, akkor szintén ilyen sorozatokat kapunk. Ez azt jelenti, hogy ha αβ, azaz B2>4A, akkor van olyan (an) és (bn) sorozat, amelyre limnanbn=A, limn(an+bn)=B, bár maguk a sorozatok nem konvergensek. Ilyen sorozatokat kapunk, ha például a fenti konstans sorozatok minden második elemét kicseréljük, azaz páros n-re an=α,bn=β, páratlan n-re pedig an=β,bn=α. A feladat második kérdésére tehát a B2>4A esetben tagadó a válasz.
Ha B2=4A, akkor a megoldás első részében vizsgált (dn) sorozat határértéke 0, tehát limn(an-bn)=0 is igaz. Így an=an+bn2+an-bn2 konvergens sorozatok összegeként maga is konvergens és hasonlóan bn=an+bn2-an-bn2 is az. Ilyenkor nyilván limnan=limnbn=B2.

 

Megjegyzések: 1. A megoldás másképpen is megfogalmazható. Mivel az anbn=un,an+bn=vn egyenletrendszernek (an és bn az ismeretlenek) minden n-re létezik megoldása, ezért a gyökök és együtthatók összefüggései alapján felírható másodfokú egyenletek diszkriminánsa, vn2-4un0. Ekkor pedig ez ennek a sorozatnak a határértékére is teljesül: B2-4AO.
2. A B24A esetben természetesen nem csak a megoldásban adott (an) és (bn) sorozatok megfelelők. Tetszőleges αnα,βnβ sorozatokból indulva bármely olyan (an), (bn) sorozatra teljesül a feltétel, amelyre {an,bn}={αn,βn}. Általában pedig csak annyit állíthatunk, hogy a feltételnek megfelelő (an) és (bn) sorozatok mindegyikének van torlódási pontja, egyesítésüknek pedig α és β a torlódási pontjai.