Kezdőlap


Feladat:	F.2621	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beke T. , Benczúr A. , Binder Zsuzsanna , Csáki Cs. , Cynolter G. , Gyuris V. , Hajnal G. , Károlyi 231 Enikő , Lipták 182 L. , Madas P. , Majoros L. , Pál G. , Rimányi Richárd , Szabó 484 P. , Szabó 639 A. , Szalay Gy. , Zaránd G.
Füzet:	1987/október, 298 - 299. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/február: F.2621

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adott $a_{n}$ és $b_{n}$ sorozatokhoz tekintsük a $d_{n} = {(a_{n} + b_{n})}^{2} - 4 a_{n} b_{n} = {(a_{n} - b_{n})}^{2}$ sorozatot. Amennyiben az $(a_{n} + b_{n})$ és az $(a_{n} b_{n})$ sorozatok konvergensek, úgy $(d_{n})$ is az, és a határértékszámítás elemi összefüggései szerint ${lim}_{n \to \infty}^{} d_{n} = {lim}_{n \to \infty}^{} [{(a_{n} + b_{n})}^{2} - 4 a_{n} b_{n}] = B^{2} - 4 A$ . A $(d_{n})$ elemei nemnegatív számok, így a sorozat határértéke sem lehet negatív. Az $(A, B)$ számpár tehát csak akkor teljesíti a feladat követelményeit, ha $B^{2} ≧ 4 A$ .
Megmutatjuk, hogy a talált feltétel elégséges: ha $B^{2} ≧ 4 A$ , akkor létezik olyan $(a_{n})$ illetve $(b_{n})$ sorozat, amelyek szorzata $A$ -hoz, összege pedig $B$ -hez tart.
Tekintsük ugyanis az $α = \frac{B + \sqrt[]{B^{2} - 4 A}}{2}$ és a $β = \frac{B - \sqrt[]{B^{2} - 4 A}}{2}$ számokat. Mivel $α β = A, α + β = B,$ az $a_{n} = α, b_{n} = β$ sorozat nyilván megfelelő.
Az is látszik, hogy ha csak annyit írunk elő, hogy ${a_{n}, b_{n}} = {α, β}$ minden $n$ -re, akkor szintén ilyen sorozatokat kapunk. Ez azt jelenti, hogy ha $α \neq β$ , azaz $B^{2} > 4 A$ , akkor van olyan $(a_{n})$ és $(b_{n})$ sorozat, amelyre ${lim}_{n \to \infty}^{} a_{n} b_{n} = A$ , ${lim}_{n \to \infty}^{} (a_{n} + b_{n}) = B$ , bár maguk a sorozatok nem konvergensek. Ilyen sorozatokat kapunk, ha például a fenti konstans sorozatok minden második elemét kicseréljük, azaz páros $n$ -re $a_{n} = α, b_{n} = β$ , páratlan $n$ -re pedig $a_{n} = β, b_{n} = α$ . A feladat második kérdésére tehát a $B^{2} > 4 A$ esetben tagadó a válasz.
Ha $B^{2} = 4 A$ , akkor a megoldás első részében vizsgált $(d_{n})$ sorozat határértéke $0$ , tehát ${lim}_{n \to \infty}^{} (a_{n} - b_{n}) = 0$ is igaz. Így $a_{n} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2} + \frac{a_{n} - b_{n}}{2}$ konvergens sorozatok összegeként maga is konvergens és hasonlóan $b_{n} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2} - \frac{a_{n} - b_{n}}{2}$ is az. Ilyenkor nyilván ${lim}_{n \to \infty}^{} a_{n} = {lim}_{n \to \infty}^{} b_{n} = \frac{B}{2}$ .

Megjegyzések: 1. A megoldás másképpen is megfogalmazható. Mivel az

a_{n} b_{n} = u_{n}, a_{n} + b_{n} = v_{n}

egyenletrendszernek (

a_{n}

és

b_{n}

az ismeretlenek) minden

n

-re létezik megoldása, ezért a gyökök és együtthatók összefüggései alapján felírható másodfokú egyenletek diszkriminánsa,

v_{n}^{2} - 4 u_{n} ≧ 0

. Ekkor pedig ez ennek a sorozatnak a határértékére is teljesül:

B^{2} - 4 A ≧ O

.
2. A

B^{2} ≧ 4 A

esetben természetesen nem csak a megoldásban adott

(a_{n})

és

(b_{n})

sorozatok megfelelők. Tetszőleges

α_{n} \to α, β_{n} \to β

sorozatokból indulva bármely olyan

(a_{n})

(b_{n})

sorozatra teljesül a feltétel, amelyre

{a_{n}, b_{n}} = {α n, β n}

. Általában pedig csak annyit állíthatunk, hogy a feltételnek megfelelő

(a_{n})

és

(b_{n})

sorozatok mindegyikének van torlódási pontja, egyesítésüknek pedig

α

és

β

a torlódási pontjai.