Feladat: F.2616 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csaba Tamás 
Füzet: 1987/október, 293 - 295. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, ( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 ), Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/január: F.2616

Oldjuk meg az alábbi egyenletet!
(39-x)x-65-(x-6)39-x539-x5-x-65=30.(3)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Használjuk az u=x-65 és a v=39-x5 jelöléseket. Az egyenlet bal oldala ekkor

(v5u-u5v)/(v-u)=uv(v4-u4)/(v-u)=uv(u+v)(u2+v2)
alakba írható. Másrészt
u5+v5=(u+v)(u4-u3v+u2v2-uv3+v4).
A következő egyenletrendszert kapjuk u-ra és v-re:
uv(u+v)(u2+v2)=30,(1)(u+v)(u4-u3v+u2v2-uv3+v4)=33.(2)


A második egyenletben is célszerű a bal oldal második tényezőjét u2+v2 és uv polinomjaként felírni:
u4-u3v+u2v2-uv3+v4=(u2+v2)2-u2v2-uv(u2+v2).
Ha most a második egyenletet osztjuk az elsővel, akkor az
u2+v2uv-uvu2+v2-1=1,1
egyenlethez jutunk. (Az első egyenlet jobb oldala pozitív, így az osztásnál nem vesztettünk gyököt). A z=u2+v2uv=uv+vu változóra tehát a z-1z=2,1 egyenletet kapjuk. Ennek két megoldása z=2,5 és z=-0,4. Egy szám és a reciprokának összegeként viszont z nem eshet -2 és 2 közé, így csak
z=uv+vu=2,5lehetséges.
Ez uv-re másodfokú egyenlet, amelynek két megoldása 2 és 12. A feladat egyenletét tehát csak olyan x elégítheti ki, amelyre
uv=x-639-x5=2vagyx-639-x5=12.
E két elsőfokú egyenletet megoldva x1=38 és x2=7. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy mindkét érték valóban megoldása a feladatnak.
 
II. megoldás. Ismét az (1)és (2) egyenletrendszert oldjuk meg. u+v nem lehet nulla, hiszen különben u5+v5 is nulla volna. Szorozzuk tehát (1)-et 11u+v-vel, (2)-t 10u+v-vel, és vonjuk ki az első kapott egyenletet a másodikból. Ekkor a
-11uv(u2+v2)+10(u4-u3v+u2v2-uv3+v4)=0
egyenlethez jutunk. Rendezzük a bal oldalt:
10u4-21u3v+10u2v2-21uv3+10v4=0.
Itt v0, hiszen különben a feladat egyenletének bal oldala is nulla volna. Oszthatunk tehát v4-nel, s ekkor uv=t-re a
10t4-21t3+10t2-21t+10=0(3)
negyedfokú, úgynevezett reciprok egyenletet kapjuk. Ezt a szokásos módon oldjuk meg: először osztunk t2-tel, így a bal oldal
10(t2+1t2)-21(t+1t)+10=10(t+1t)2-21(t+1t)-10
alakba írható, azaz t+1t-re (ismét) a
10(t+1t)2-21(t+1t)-10=0
másodfokú egyenletet kapjuk.

(t+1t) éppen az előző megoldásbeli z, így az első megoldás befejezése szerint t+1t=2,5, ahonnan a két megoldás 38 és 7.

 

Megjegyzés. Sokan eljutottak az uv(u+v)(u2+v2)=30 egyenlethez, de ezután felhasználták az egyértelmű prímfelbontást, azaz feltették, hogy u és v egész szám. A feladat azonban az összes valós megoldás megkeresése volt. (Más kérdés, hogy a megoldás során kiderül, hogy u és v egész.)