Kezdőlap


Feladat:	F.2616	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csaba Tamás
Füzet:	1987/október, 293 - 295. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, ( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 ), Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/január: F.2616

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Használjuk az $u = \sqrt[5]{x - 6}$ és a $v = \sqrt[5]{39 - x}$ jelöléseket. Az egyenlet bal oldala ekkor

\begin{matrix} (v^{5} u - u^{5} v) / (v - u) = u v (v^{4} - u^{4}) / (v - u) = u v (u + v) (u^{2} + v^{2}) \end{matrix}

alakba írható. Másrészt

\begin{matrix} u^{5} + v^{5} = (u + v) (u^{4} - u^{3} v + u^{2} v^{2} - u v^{3} + v^{4}) . \end{matrix}

A következő egyenletrendszert kapjuk

u

-ra és

v

-re:

\begin{matrix} u v (u + v) (u^{2} + v^{2}) = 30, & (1) \\ (u + v) (u^{4} - u^{3} v + u^{2} v^{2} - u v^{3} + v^{4}) = 33. & (2) \end{matrix}

A második egyenletben is célszerű a bal oldal második tényezőjét

u^{2} + v^{2}

és

u v

polinomjaként felírni:

\begin{matrix} u^{4} - u^{3} v + u^{2} v^{2} - u v^{3} + v^{4} = {(u^{2} + v^{2})}^{2} - u^{2} v^{2} - u v (u^{2} + v^{2}) . \end{matrix}

Ha most a második egyenletet osztjuk az elsővel, akkor az

\begin{matrix} \frac{u^{2} + v^{2}}{u v} - \frac{u v}{u^{2} + v^{2}} - 1 = 1,1 \end{matrix}

egyenlethez jutunk. (Az első egyenlet jobb oldala pozitív, így az osztásnál nem vesztettünk gyököt). A

z = \frac{u^{2} + v^{2}}{u v} = \frac{u}{v} + \frac{v}{u}

változóra tehát a

z - \frac{1}{z} = 2,1

egyenletet kapjuk. Ennek két megoldása

z = 2,5

és

z = - 0,4

. Egy szám és a reciprokának összegeként viszont

z

nem eshet

- 2

és

2

közé, így csak

\begin{matrix} z = \frac{u}{v} + \frac{v}{u} = 2,5 lehetséges . \end{matrix}

\frac{u}{v}

-re másodfokú egyenlet, amelynek két megoldása

2

és

\frac{1}{2}

. A feladat egyenletét tehát csak olyan

x

elégítheti ki, amelyre

\begin{matrix} \frac{u}{v} = \sqrt[5]{\frac{x - 6}{39 - x}} = 2 vagy \sqrt[5]{\frac{x - 6}{39 - x}} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

E két elsőfokú egyenletet megoldva

x_{1} = 38

és

x_{2} = 7

. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy mindkét érték valóban megoldása a feladatnak.

II. megoldás. Ismét az (1)és (2) egyenletrendszert oldjuk meg.

u + v

nem lehet nulla, hiszen különben

u^{5} + v^{5}

is nulla volna. Szorozzuk tehát (1)-et

\frac{11}{u + v}

-vel, (2)-t

\frac{10}{u + v}

-vel, és vonjuk ki az első kapott egyenletet a másodikból. Ekkor a

\begin{matrix} - 11 u v (u^{2} + v^{2}) + 10 (u^{4} - u^{3} v + u^{2} v^{2} - u v^{3} + v^{4}) = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk. Rendezzük a bal oldalt:

\begin{matrix} 10 u^{4} - 21 u^{3} v + 10 u^{2} v^{2} - 21 u v^{3} + 10 v^{4} = 0. \end{matrix}

Itt

v \neq 0

, hiszen különben a feladat egyenletének bal oldala is nulla volna. Oszthatunk tehát

v^{4}

-nel, s ekkor

\frac{u}{v} = t

-re a

\begin{matrix} 10 t^{4} - 21 t^{3} + 10 t^{2} - 21 t + 10 = 0 \end{matrix}

(3)

negyedfokú, úgynevezett reciprok egyenletet kapjuk. Ezt a szokásos módon oldjuk meg: először osztunk

t^{2}

-tel, így a bal oldal

\begin{matrix} 10 (t^{2} + \frac{1}{t^{2}}) - 21 (t + \frac{1}{t}) + 10 = 10 {(t + \frac{1}{t})}^{2} - 21 (t + \frac{1}{t}) - 10 \end{matrix}

alakba írható, azaz

t + \frac{1}{t}

-re (ismét) a

\begin{matrix} 10 {(t + \frac{1}{t})}^{2} - 21 (t + \frac{1}{t}) - 10 = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenletet kapjuk.

(t + \frac{1}{t})

éppen az előző megoldásbeli

z

, így az első megoldás befejezése szerint

t + \frac{1}{t} = 2,5

, ahonnan a két megoldás

38

és

7

Megjegyzés. Sokan eljutottak az

u v (u + v) (u^{2} + v^{2}) = 30

egyenlethez, de ezután felhasználták az egyértelmű prímfelbontást, azaz feltették, hogy

u

és

v

egész szám. A feladat azonban az összes valós megoldás megkeresése volt. (Más kérdés, hogy a megoldás során kiderül, hogy

u

és

v

egész.)