Feladat: F.2604 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bencze Mihály 
Füzet: 1987/szeptember, 253 - 255. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenlőtlenségek, Egészrész, törtrész függvények, Függvények folytonossága, Hatványösszeg, Határozott integrál, Numerikus és grafikus módszerek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/november: F.2604

Határozzuk meg az alábbi összeg egész részét:
k=1100001k4.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a vizsgált összeget S-sel. Az összeg tagjai az f(x)= =1x14 függvény egész helyeken fölvett értékei az [1;10000] intervallumban. Az f folytonos ebben az intervallumban, ezért ott integrálható. Tekintsük a következő integrálközelítő-összegeket:

A=k=210000f(k),F=k=19999f(k).
Ezekkel az integrál értéke becsülhető, éspedig
A=S-1<110000dxx14<F=S-110,(1)
hiszen f a tekintett intervallumban pozitív és monoton fogy. Mivel
110000dxx14=1332,
ezért (1) szerint S-1<1332<S-0,1, azaz 1332,1<S<1333, és így [S]=1332.
 

II. megoldás. S egész részének meghatározásához fölhasználjuk a következő, minden pozitív egészre érvényes egyenlőtlenséget:
43((n+1)3/4-n3/4)<1n14<43(n3/4-(n-1)3/4).(2)

Csak a bal oldali egyenlőtlenséget igazoljuk, a másik bizonyítása hasonlóan történhet. Osszuk ennek mindkét oldalát 43n3/4-nel. Rendezés után kapjuk, hogy a bizonyítandó állítás a
(1+1n)314<1+34n(3)
egyenlőtlenséggel ekvivalens. A bal oldalon négy szám, az 1,1+1n,1+1n,1+1n mértani közepe, a jobb oldalon pedig ugyanezeknek a számtani közepe áll, és mivel a számok nem mind egyenlők, (3) valóban igaz.
Ezután S, illetve S-1 a következőképpen becsülhető:
S=11000014+1999914+...+1214+1114>43[(100013/4-100003/4)++(100003/4-99993/4)+...+(23/4-13/4)]=43[100013/4-1].S-1=11000014+1999914+...+1214<43(100003/4-99993/4)++(99993/4-99983/4)+...+(23/4-13/4)=43[100003/4-1]=1332.



Azt kaptuk tehát, hogy 43(100013/4-1)<S<1333. Mivel pedig
43(100013/4-1)>43(100003/4-1)=1332,
azért [S]=1332.
 

Megjegyzések. 1. A (2) egyenlőtlenség hátterében a g(x)=x3/4 függvény konkáv volta áll, ugyanis g'(x)=34x-1/4 alapján (2) a
g(x+1)-g(x)<g'(x)<g(x)-g(x-1)(2')
alakba írható. A (2') két szélén a görbe egy-egy húrjának, közepén pedig az (x,g(x))-beli érintőjének meredeksége áll.
 

2. Az I. megoldás módszerével általában is igazolható, hogyha k2, természetes szám, akkor
kk-1(nk-1k-1)+1n1k<i=1n1i1k<kk-1(nk-1k-1)+1.
Hasonlóan igazolható, hogy
(n+1)x-1xi=1n1i1-x(n+1)xx-(n+1)x-1,ahol0<x1.